2020高考数学刷题首选卷第七章平面解析几何考点测试53双曲线理（含解析）

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1、考点测试53　双曲线一、基础小题1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为(　　)A．B．C．D．答案　B解析　由题意可得＝，则离心率e＝＝＝，故选B．2．已知双曲线－＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)A．±B．±C．±D．±答案　D解析　由m2＋16＝52，解得m＝3(m＝－3舍去)．所以a＝5，b＝3，从而±＝±，故选D．3．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足

2、MA

3、－

4、MB

5、＝6，则点M的轨迹方程是(　　)A．－＝1B．－＝1(x≥4)C．－＝1D．－＝1(x≥3)答案　D解析　由双曲线的

6、定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝16．∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为－＝1(x≥3)．故选D．4．双曲线－y2＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A．B．C．1D．答案　C解析　焦点F(，0)到渐近线x±y＝0的距离d＝＝1，故选C．5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1答案　A解析　∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝．①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b．②由①②解得a＝2，b＝，则C

7、的方程为－＝1．故选A．6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若

8、AN

9、－

10、BN

11、＝12，则a＝(　　)A．3B．4C．5D．6答案　A解析　如图，设MN的中点为C，则由对称性知F1，F2分别为线段AM，BM的中点，所以

12、CF1

13、＝

14、AN

15、，

16、CF2

17、＝

18、BN

19、．由双曲线的定义，知

20、CF1

21、－

22、CF2

23、＝2a＝(

24、AN

25、－

26、BN

27、)＝6，所以a＝3，故选A．7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1

28、，则双曲线C的方程为________．答案　x2－＝1解析　由题意得解得则b＝，故所求方程为x2－＝1．8．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．答案　17解析　解法一：∵实轴长2a＝8，半焦距c＝6，∴

29、

30、PF1

31、－

32、PF2

33、

34、＝8．∵

35、PF1

36、＝9，∴

37、PF2

38、＝1或

39、PF2

40、＝17．又∵

41、PF2

42、的最小值为c－a＝6－4＝2，∴

43、PF2

44、＝17．解法二：由题知，若P在右支上，则

45、PF1

46、≥2＋8＝10>9，∴P在左支上．∴

47、PF2

48、－

49、PF1

50、＝2a＝8，∴

51、PF2

52、＝9＋8＝17

53、．二、高考小题9．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x答案　A解析　∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝．因为该双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A．10．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则

54、MN

55、＝(　　)A．B．3C．2D．4答案　B解析　由题意分析知，∠FON＝30°．所以∠MON＝60°，又因为△OMN是直角三角形，不

56、妨取∠NMO＝90°，则∠ONF＝30°，于是FN＝OF＝2，FM＝OF＝1，所以

57、MN

58、＝3．故选B．11．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若

59、PF1

60、＝

61、OP

62、，则C的离心率为(　　)A．B．2C．D．答案　C解析　由题可知

63、PF2

64、＝b，

65、OF2

66、＝c，∴

67、PO

68、＝a．在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，∵在△PF1F2中，cos∠PF2O＝＝，∴＝⇒c2＝3a2，∴e＝．故选C．12．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点

69、且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)A．－＝1B．－＝1C．－＝1D．－＝1答案　C解析　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b2＝3a2，∴c2＝a2＋b2＝4a2，由题意可设A(2a，3a)，B(2a，－3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6