2020高考数学一轮复习第二讲解题的指导思想—化归寻旧讲义理

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1、第二讲解题的指导思想——化归寻旧在数学习题的解答过程中，除了第一讲中对信息加工的实践操作活动外，更重要的是大脑加工信息的思维活动，它的规律就是化归寻旧思想．“寻”即“寻找”“联系”之意；“旧”指现有的知识经验．也就是说信息加工的思维活动规律就是寻找问题的信息与现有的知识经验之间的联系，为加工信息的实践操作活动指明方向，即为化归活动确定方向．常见的化归寻旧方法有以下几种：一、求同求异，寻旧之规律(一)求同寻旧求同寻旧就是习题解答过程中人的思维活动总是表现为寻找习题信息与已知的某项知识经验的共性．特别是寻找问题信息与已知的某个公式、某个定理或某个曾经解决过的问题等在表达形式上或内容上的共

2、同点．解题者在感知问题的信息时，眼睛如照相机一样将习题所呈现的信息符号拍摄下来，这些符号通过视觉神经传输到大脑，大脑对信息符号进行识别、分类，然后寻找信息符号在认知结构中的联络点，联络点一经找到，就说明习题信息与认知结构中的某项知识经验存在一定的联系．[例1]　已知＝＝，求证：sinθ＝.[求同寻旧]　由于条件和结论都是三角等式，而结论信息是不含角2φ的三角等式，根据认知经验“条件中含有2φ的三角函数，而结论是不含2φ的三角函数，说明应当对条件信息进行加工处理，消去2φ”．为了消去2φ的三角函数，联系到熟悉结构的经验sin22φ＋cos22φ＝1，就会产生“先解出sin2φ，cos2

3、φ，然后平方消去参数2φ”这一化归方案．[证明]　因为＝，所以2asin2φ＝.①因为＝，所以2acos2φ＝－(1＋a2)．②由①2＋②2再化简得2(a2＋1)(a2－1)sinθ＝2(a2－1)2.因为a2－1≠0，所以sinθ＝.[反思归纳]　此题通过求同寻旧提出了消去角2φ的解题思路，显然，解题的假设方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物．(二)求异寻旧求异寻旧就是习题解答过程中人的思维活动总是表现为寻找问题信息与认知结构中的某项知识经验的特征差异，以便化异为同，促使习题信息与认知结构的“网点”顺利“链接”．求同寻旧与求异寻旧在解题过程中总是结伴而行．一般来说，两个事物总

4、是存在着区别和联系，相同之外有不同，不同之中有相同，没有完全相同和完全不同的两件事物．寻旧就是寻找习题信息与认知结构中知识经验的联系和区别，特别要善于在不同之中找到一点共性，在相似之间发现其中的差异．求同寻旧旨在寻找联系，从而为处理信息或问题解决提出假设方案；求异寻旧旨在发现差异，从而为信息加工指明方向，所以求同求异是不可分的．[例2]　如果方程组只有一组解，则实数k的值为________．[求同寻旧]　由于我们认知结构中有这样一项经验——一元二次方程根的存在及判定，而这个问题不是一元二次方程，它是求方程组的一组解．二者存在的共性都是与求解相关的问题．[求异寻旧]　认知经验是“一元二

5、次方程”，而此问题是“二元二次对数方程组”，二者在元的个数和方程的个数上存在着差异，这就要求我们对原方程组进行“消元”处理，化异为同，即⇒⇒2(log3x)2－2log3klog3x＋(log3k)2－2＝0.①[求异寻旧]　认知经验中的熟悉结构是“一元二次方程”，而方程①是“对数方程”，二者在方程形式上存在着差异，这就要求我们对方程①进行“换元”处理，化异为同．[解析]　因为log3x∈R，设log3x＝t(t∈R)，方程①化为2t2－2tlog3k＋(log3k)2－2＝0.②要使原方程组只有一组解，只需方程②只有一个根即可．所以Δ＝4(log3k)2－8(log3k)2＋16＝

6、0⇒k＝9或k＝.[答案]　9或[反思领悟]　此题通过求异寻旧找到了“二元二次对数方程组只有一组解”与“一元二次方程只有一个根”的差异，提出了“消元”的解题思路，得到了①.又通过求异寻旧找到了“对数方程”与“一元二次方程”的差异，提出了“换元”的解题思路，得到了熟悉的方程②.显然，解题的假设方案和化归方案都是寻旧思想对大脑作用的产物．二、上游下游，寻旧之方向对于两项信息A，B，如果A是B的充分条件，我们称A是B的上游信息，B是A的下游信息．我们称从上游信息向下游信息联想的思维活动为顺推寻旧，从下游信息向上游信息联想的思维活动为逆推寻旧．(一)下游顺推信息法就是针对一项信息A，沿着熟悉

7、结构中的某条线进行顺推，顺推得到的新信息是上一步信息的必要条件(或充要条件)，我们称这种寻旧为下游顺推信息法，如图所示．―→―→―→[例3]　已知函数f(x)＝x2＋2x，若存在实数t，使不等式f(x＋t)≤x－1对任意的x∈[1，m](m>1)恒成立，求实数m的取值范围．[解]　这个习题呈现的信息有2项：①存在实数t，使不等式f(x＋t)≤x－1对任意的x∈[1，m](m>1)恒成立；②求实数m的取值范围．此题信息②很清晰，而信息①虽然是一个不等式恒成立