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时间:2019-05-15
《2019届高考数学复习导数及其应用第2讲第2课时导数与函数的极值最值配套练习文北师大版》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第2课时 导数与函数的极值、最值一、选择题1.下列函数中,既是奇函数又存在极值的是( )A.y=x3B.y=ln(-x)C.y=xe-xD.y=x+解析 由题可知,B,C选项中的函数不是奇函数,A选项中,函数y=x3单调递增(无极值),D选项中的函数既为奇函数又存在极值.答案 D2.(2017·石家庄质检)若a>0,b>0,且函数f(x)=4x3-ax2-2bx+2在x=1处有极值,若t=ab,则t的最大值为( )A.2B.3C.6D.9解析 f′(x)=12x2-2ax-2b,则f′(1)=12-2a-2b=0,则a+b=6,又a>0,b>0,则t=ab≤2=9,当且仅当a
2、=b=3时取等号.答案 D3.已知y=f(x)是奇函数,当x∈(0,2)时,f(x)=lnx-ax,当x∈(-2,0)时,f(x)的最小值为1,则a的值等于( )A.B.C.D.1解析 由题意知,当x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1.令f′(x)=-a=0,得x=,当00;当x>时,f′(x)<0.∴f(x)max=f=-lna-1=-1,解得a=1.答案 D4.已知函数f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1有极大值和极小值,则实数a的取值范围是( )A.(-1,2)B.(-∞,-3)∪(6,+∞)C.(-3,6)D.(-∞,-1)∪(2,+∞)
3、解析 ∵f′(x)=3x2+2ax+(a+6),由已知可得f′(x)=0有两个不相等的实根,∴Δ=4a2-4×3×(a+6)>0,即a2-3a-18>0,∴a>6或a<-3.答案 B5.设函数f(x)=ax2+bx+c(a,b,c∈R),若x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,则下列图像不可能为y=f(x)图像的是( )解析 因为[f(x)ex]′=f′(x)ex+f(x)(ex)′=[f(x)+f′(x)]ex,且x=-1为函数f(x)ex的一个极值点,所以f(-1)+f′(-1)=0;选项D中,f(-1)>0,f′(-1)>0,不满足f′(-1)+f(-1)=0.答案 D
4、二、填空题6.(2017·咸阳模拟)已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,若x=-3是函数f(x)的一个极值点,则实数a=________.解析 f′(x)=3x2+2ax+3.依题意知,-3是方程f′(x)=0的根所以3×(-3)2+2a×(-3)+3=0,解得a=5.经检验,a=5时,f(x)在x=-3处取得极值.答案 57.(2016·北京卷改编)设函数f(x)=则f(x)的最大值为________.解析 当x>0时,f(x)=-2x<0;当x≤0时,f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),当x<-1时,f′(x)>0,f(x)是增函数,当-15、x)<0,f(x)是减函数.∴f(x)≤f(-1)=2,∴f(x)的最大值为2.答案 28.设a∈R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________.解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,则方程y′=ex+a=0有大于零的解,∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.答案 (-∞,-1)三、解答题9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.解 (1)由题意可知x≠-r,所求的定义域为(-∞6、,-r)∪(-r,+∞).f(x)==,f′(x)==.所以当x<-r或x>r时,f′(x)<0;当-r0.因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100,f(x)在(0,+∞)内无极小值;综上,f(x)在(0,+∞)内极大值为100,无极小值.10.(2017·衡水中学二调)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(7、-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值.解 (1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.又g′(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g′(1)=4e.所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:xf′(x)-
5、x)<0,f(x)是减函数.∴f(x)≤f(-1)=2,∴f(x)的最大值为2.答案 28.设a∈R,若函数y=ex+ax有大于零的极值点,则实数a的取值范围是________.解析 ∵y=ex+ax,∴y′=ex+a.∵函数y=ex+ax有大于零的极值点,则方程y′=ex+a=0有大于零的解,∵x>0时,-ex<-1,∴a=-ex<-1.答案 (-∞,-1)三、解答题9.(2015·安徽卷)已知函数f(x)=(a>0,r>0).(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.解 (1)由题意可知x≠-r,所求的定义域为(-∞
6、,-r)∪(-r,+∞).f(x)==,f′(x)==.所以当x<-r或x>r时,f′(x)<0;当-r0.因此,f(x)的单调递减区间为(-∞,-r),(r,+∞);f(x)的单调递增区间为(-r,r).(2)由(1)的解答可知f′(r)=0,f(x)在(0,r)上单调递增,在(r,+∞)上单调递减.因此,x=r是f(x)的极大值点,所以f(x)在(0,+∞)内的极大值为f(r)====100,f(x)在(0,+∞)内无极小值;综上,f(x)在(0,+∞)内极大值为100,无极小值.10.(2017·衡水中学二调)已知函数f(x)=xlnx,g(x)=(
7、-x2+ax-3)ex(a为实数).(1)当a=5时,求函数y=g(x)在x=1处的切线方程;(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值.解 (1)当a=5时,g(x)=(-x2+5x-3)ex,g(1)=e.又g′(x)=(-x2+3x+2)ex,故切线的斜率为g′(1)=4e.所以切线方程为y-e=4e(x-1),即y=4ex-3e.(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=lnx+1,当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表:xf′(x)-
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