2018版高中数学数列章末分层突破学案新人教b版

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1、第2章数列章末分层突破[自我校对]①无穷数列②常数列③通项公式法④前n项和公式⑤等比数列　　　等差(比)数列的基本运算在等差数列和等比数列的通项公式an与前n项和公式Sn中，共涉及五个量：a1，an，n，d(或q)，Sn，其中a1和d(或q)为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a1，d(q)，an，Sn，n的方程组，利用方程的思想求出需要的量，当然在求解中若能运用等差(比)数列的性质会更好，这样可以化繁为简，减少运算量，同时还要注意整体代入思想方法的运用.　等比数列{an}中，已知a1＝2，a4＝16.(1)求数列{an}的

2、通项公式；(2)若a3，a5分别为等差数列{bn}的第3项和第5项，试求数列{bn}的通项公式及前n项和Sn.【精彩点拨】　(1)由a1，a4求出公比q，写出{an}的通项公式.(2)列出关于b1，d的方程组，求解b1，d，进而写出bn，Sn.【规范解答】　(1)设{an}的公比为q，由已知得16＝2q3，解得q＝2.∴an＝2×2n－1＝2n.(2)由(1)得a3＝8，a5＝32，则b3＝8，b5＝32.设{bn}的公差为d，则有解得所以bn＝－16＋12(n－1)＝12n－28.所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝6n2－22n.[

3、再练一题]1.已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.(1)若1，a1，a3成等比数列，求a1；(2)若S5>a1a9，求a1的取值范围.【解】　(1)因为数列{an}的公差d＝1，且1，a1，a3成等比数列，所以a＝1×(a1＋2)，即a－a1－2＝0，解得a1＝－1或a1＝2.(2)因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a＋8a1，即a＋3a1－10<0，解得－5

4、知Sn求an.若已知数列的前n项和Sn与an的关系，求数列{an}的通项an可用公式an＝求解.(3)由递推公式求数列通项法.①已知形如“an＋1＝can＋d”的递推公式，一般利用待定系数法把关系式转化为等比数列求an.②已知形如“an＋1＝pan＋pn＋1·q”的递推公式，一般转化为＝＋q，利用为等差数列求an.③已知形如“an＋1＝an＋f(n)”的递推公式，可考虑叠加法求an.④已知形如“an＋1＝f(n)·an”的递推公式，则可考虑累乘法求an.　设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N＋.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥

5、2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.(1)求a4的值；(2)证明：为等比数列；(3)求数列{an}的通项公式.【精彩点拨】　(1)令n＝2，代入条件等式中求a4；(2)将前n项和转化为通项形式后利用等比数列的定义证明；(3)得出(2)的通项公式并进一步转化构造得{an}的通项公式.【规范解答】　(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即4＋5＝8＋1，解得a4＝.(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋a

6、n＝4an＋1(n≥2).∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，∴4an＋2＋an＝4an＋1，∴＝＝＝＝，∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列.(3)由(2)知，an＋1－an＝，即－＝4.∴数列是以＝2为首项，4为公差的等差数列，∴＝2＋4(n－1)＝4n－2，即an＝(2n－1)·n－1，∴数列{an}的通项公式为an＝(2n－1)·.[再练一题]2.已知数列{an}满足an＋1＝2an＋1(n∈N＋)，a1＝1，求通项公式.【导学号：18082040】【解】　an＋1＝2an＋1可变为an＋1＋1＝2(an＋1)，

7、令bn＝an＋1，则bn＋1＝2bn且b1＝a1＋1＝2，∴{bn}是以2为首项，以2为公比的等比数列.∴bn＝2·2n－1＝2n，∴an＝bn－1＝2n－1.求数列的前n项和数列求和问题一般转化为等差数列或等比数列的前n项和问题或已知公式的数列求和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选择恰当的方法求解.一般常见的求和方法有：(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n项和公式；(2)分组求和法：把一个数列分成几个可以直接求和的数列.(3)裂项(相消)法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和.(4

8、)错位相减法：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和.(5)倒序相加法：例如，等差数列前n项和公式的推导.　已知数列{an}的前n项和Sn＝kcn－k(其中c，k为常数)，且a2＝4，a6＝8a3，(1