2017-2018学年高中数学平面向量2.3.4平面向量共线的坐标表示学案新人教a版

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1、2.3.4 平面向量共线的坐标表示预习课本P98~100,思考并完成以下问题如何利用向量的坐标运算表示两个向量共线?    平面向量共线的坐标表示前提条件a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0结论当且仅当x1y2-x2y1=0时,向量a、b(b≠0)共线[点睛] (1)平面向量共线的坐标表示还可以写成=(x2≠0,y2≠0),即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例;(2)当a≠0,b=0时,a∥b,此时x1y2-x2y1=0也成立,即对任意向量a,b都有:x1y2-x2y1=0⇔a∥b.1.判

2、断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),若a∥b,则必有x1y2=x2y1.(  )(2)向量(2,3)与向量(-4,-6)反向.(  )答案:(1)√ (2)√2.若向量a=(1,2),b=(2,3),则与a+b共线的向量可以是(  )A.(2,1)  B.(-1,2)  C.(6,10)  D.(-6,10)答案:C3.已知a=(1,2),b=(x,4),若a∥b,则x等于(  )A.-B.C.-2D.2答案:D4.已知向量a=(-2,3),b∥

3、a,向量b的起点为A(1,2),终点B在x轴上,则点B的坐标为________.答案:向量共线的判定[典例] (1)已知向量a=(1,2),b=(λ,1),若(a+2b)∥(2a-2b),则λ的值等于(  )A.    B.    C.1    D.2(2)已知A(2,1),B(0,4),C(1,3),D(5,-3).判断与是否共线?如果共线,它们的方向相同还是相反?[解析] (1)法一:a+2b=(1,2)+2(λ,1)=(1+2λ,4),2a-2b=2(1,2)-2(λ,1)=(2-2λ,2),由(a+2b)

4、∥(2a-2b)可得2(1+2λ)-4(2-2λ)=0,解得λ=.法二:假设a,b不共线,则由(a+2b)∥(2a-2b)可得a+2b=μ(2a-2b),从而方程组显然无解,即a+2b与2a-2b不共线,这与(a+2b)∥(2a-2b)矛盾,从而假设不成立,故应有a,b共线,所以=,即λ=.[答案] A(2)[解] =(0,4)-(2,1)=(-2,3),=(5,-3)-(1,3)=(4,-6),∵(-2)×(-6)-3×4=0,∴,共线.又=-2,∴,方向相反.综上,与共线且方向相反.     向量共线的判定方

5、法(1)利用向量共线定理,由a=λb(b≠0)推出a∥b.(2)利用向量共线的坐标表达式x1y2-x2y1=0直接求解.  [活学活用]已知a=(1,2),b=(-3,2),当k为何值时,ka+b与a-3b平行,平行时它们的方向相同还是相反?解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2),a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4),若ka+b与a-3b平行,则-4(k-3)-10(2k+2)=0,解得k=-,此时ka+b=-a+b=-(a-3b),故ka+b与a-3b反向.∴k=-时,k

6、a+b与a-3b平行且方向相反.三点共线问题[典例] (1)已知=(3,4),=(7,12),=(9,16),求证:A,B,C三点共线;(2)设向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A,B,C三点共线?[解] (1)证明:∵=-=(4,8),=-=(6,12),∴=,即与共线.又∵与有公共点A,∴A,B,C三点共线.(2)若A,B,C三点共线,则,共线,∵=-=(4-k,-7),=-=(10-k,k-12),∴(4-k)(k-12)+7(10-k)=0.解得k=-2或k=11.有关三点共

7、线问题的解题策略(1)要判断A,B,C三点是否共线,一般是看与,或与,或与是否共线,若共线,则A,B,C三点共线;(2)使用A,B,C三点共线这一条件建立方程求参数时,利用=λ,或=λ,或=λ都是可以的,但原则上要少用含未知数的表达式.      [活学活用]设点A(x,1),B(2x,2),C(1,2x),D(5,3x),当x为何值时,与共线且方向相同,此时,A,B,C,D能否在同一条直线上?解:=(2x,2)-(x,1)=(x,1),=(1,2x)-(2x,2)=(1-2x,2x-2),=(5,3x)-(1,

8、2x)=(4,x).由与共线,所以x2=1×4,所以x=±2.又与方向相同,所以x=2.此时,=(2,1),=(-3,2),而2×2≠-3×1,所以与不共线,所以A,B,C三点不在同一条直线上.所以A,B,C,D不在同一条直线上.向量共线在几何中的应用题点一:两直线平行判断1.如图所示,已知直角梯形ABCD,AD⊥AB,AB=2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于E,用向量

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