分布鲁棒最小二乘问题的理论研究及其应用

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1、分类号：学校代码：１０１６５密级：２０１５１１０００５７２：学号連窣坪範大學硕士学位论文＿分布鲁棒最小二乘问题的理论研究及其应用ＴｈｅｏｒｅｔｉｃａｌＲｅｓｅａｒｃｈａｎｄＡｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＤｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎａｌｌＲｏｂｕｓｔＬｅａｓｔｐｐｙＳｑｕａｒｅｓＰｒｏｂｌｅｍ作者姓名：曹新宇学科、专业：运筹学与控制论研究方向：最优化理论与方法￣￣￣导师姓名：王炜教授２０１８年４月辽宁师范大学硕士学位论文摘要实际应用中的很多问题如曲线拟

2、合、模型预测都可以转化为最小二乘问题来解决.由于这些问题中参数的不确定性，可以利用历史数据的部分信息构造不确定分布集合.本文提出两种用概率不确定性定义的不确定集合下的鲁棒框架，具体形式为：2minmaxAxbPAb，xP其中，X是nmnbRm分别是已知的矩阵和向量，Rmn和R中的紧集，AR和AmR是随机误差，P是关于A和b的分布，它被控制在不确定分布集合中.这个不b确定集合可以通过以下两种方式来刻画：(1)由测度有界的矩约束描述的不确定集；(2)由给定参考

3、测度的Kantorovich距离描述的不确定集.真实分布的不确定集合往往可以通过以从历史数据得到的经验分布作为参考分布被构造.第一种不确定集合用历史数据的一阶矩和二阶矩定义，此时原问题可以转化为一个凸问题.当样本空间具有有限支撑时，这个凸问题可以利用割平面算法在有限步求解，此算法可以用线性规划和线性锥规划的相关求解器实现.另外，在某些特定条件下，离散形式求出的最优解收敛到原问题的最优解；第二种不确定集合通过用测度定义参考分布和真实分布的距离来构造，这种构造方法保证了问题的收敛性.利用对偶理论，证明了原问题

4、等价于一个二阶锥模型，在样本具有有限支撑的情况下，可以用支撑向量机的一种割平面算法求解.最后，给出了分布鲁棒最小二乘问题的应用.关键词：最小二乘问题；分布鲁棒优化；矩约束；Kantorovich距离；割平面算法I分布鲁棒最小二乘问题的理论研究及其应用TheoreticalResearchandApplicationofDistributionallyRobustLeastSquaresProblemAbstractManypracticalissuessuchascurvefittingandmodelp

5、redictioncanbesolvedthroughtransformingintotheleastsquaresproblem.Duetotheuncertaintyofparametersintheseissues，itispossibletousethepartialinformationofthehistoricaldatatoconstructthesetofuncertaindistributions.Tworobustframeworksunderuncertainsetsdefinedb

6、yprobabilisticuncertaintyarepresentedinthispaper.Specifically，2minmaxAxbPAb，xPWhereXisthecompactsetinnmnmR，ARandbRistheknownmatrixandvector，mnmrespectively，ARandbRarerandomerrors，PisadistributionofAandb，whichiscontrolledin，theseto

7、funcertaindistributions.Theuncertainsetcanbecharacterizedbyfollowingtwoways：(1)theuncertainsetdescribedbythemomentconstraintwhichthemeasureisbounded；(2)theuncertainsetdescribedbyaKantorovichdistancewhichhaveagivenreferencemeasure.Theuncertainsetforthereal

8、distributionusuallycanbeconstructedbyusingtheempiricaldistributionderivedfromthehistoricaldataasthereferencedistribution.Thefirstuncertainsetisdefinedbythefirstandsecondmomentsofthehistoricaldata，andtheoriginalprobl