几类性能良好的纠错码和码本研究

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1、中图分类号：O157.4论文编号：102870816-B012学科分类号：070101博士学位论文几类性能良好的纠错码和码本研究研究生姓名衡子灵学科、专业基础数学研究方向代数编码指导教师岳勤教授南京航空航天大学研究生院理学院二О一六年十二月NanjingUniversityofAeronauticsandAstronauticsTheGraduateSchoolCollegeofScienceResearchonSeveralClassesofError-correctingCodesandCodebookswithGoo

2、dPerformanceAThesisinAlgebraicCodingTheorybyZilingHengAdvisedbyProf.QinYueSubmittedinPartialFulfillmentoftheRequirementsfortheDegreeofDoctorofPhilosophyDecember,2016承诺书本人声明所呈交的博士学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得南京航空航天大学或

3、其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。本人授权南京航空航天大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本承诺书）作者签名：日期：2017/3/17南京航空航天大学博士学位论文摘要纠错码和码本是通信理论中的重要课题.这篇论文主要构造了一些性能良好的纠错码和最优的码本.这些纠错码可以应用在数据存储、移动电话传输、秘钥共享方案和强正则图等方面.最优码本则在直接扩频CDMA通信系统、酉空时调制、删除信道的多描述编码等领域有着重要的应用

4、.本文的主要结果如下：第一，广义Gray映射.设p是一个素数，fx()为取值在k上的函数，研究了环k上的pp广义Gray映射G，用指数和表示出了Gfx(())的汉明重量，把Carlet教授的结果从p2推广到任意p.此外，基于广义Gray映射G构造了一类上的非线性码，利用Galois环上的Weil型指p数和估计出了这类码的极小汉明距离的下界.第二，线性码.利用一些特殊的函数构造出了好的线性码.在某些情形下，计算出了它们的汉明重量分布.特别地，得到了一些具有新参数的最优码，这些最优码的参数能够达到Griesmer界.此外，分

5、析和证明了这些码可以用来构造具有好的访问结构的秘钥共享方案以及具有新的参数的强正则图.第三，常重量码.基于有限域上的迹函数和范函数，给出了有限域上q元码的一个构造方法.利用这个构造，得到了两类q元常重量码，其中这些常重量码关于广义Johnson界I最优；还得到了一类q元常复合码，其中这些常复合码关于Luo-Fu-Vinck-Chen界最优.此外，还得到了一些一重和二重的线性码.第四，循环码.基于有限域上的高斯和理论，研究了一类具有两个非零点的循环码的汉明重量，给出了这类循环码的极小汉明距离的下界.特别地，得到了一类关于Gr

6、iesmer界最优的三重循环码，推广了墨西哥学者G.Vega的一个结果；得到了几类重量较少的循环码，从而解决了G.Vega提出的公开问题.第五，完全重量分布.基于有限域上的二次型理论，研究了两类循环码的完全重量分布.在某些情形下，明确给出了这些循环码的重量计数器.特别地，得到了其中一类循环码的重量分布，从而解决了冯克勤教授和罗金权教授提出的一个公开问题.完全重量分布可以用来研究认证码以及单项式的Walsh变换.第六，码本.基于一些特殊的取值在上的二次广义bent函数，给出了码本的一个新的构4造方法.利用这个构造，得出了一些

7、关于Levenshtein界最优的码本.这些码本的参数为2mmm(22,2)，其中字母集的字母数为6.特别地，构造出了满足码本构造要求的二次广义bent函数.此外，还给出了一些新的布尔bent函数.关键词：广义Gray映射、线性码、常重量码、常复合码、循环码、码本、高斯和、二次型I几类性能良好的纠错码和码本研究ABSTRACTError-correctingcodesandcodebooksareimportanttopicsincommunicationtheory.Thispapermainlypresentssom

8、econstructionsofgooderror-correctingcodesandoptimalcodebooks.Thesecodescanbeusedindatastorage,cellulartelephonetransmission,secretsharingschemes,strongr