2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之三-数学思维的严密性

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1、数学驿站http://www.maths168.com2005年高考数学总复习解题思维专题讲座之三数学思维的严密性一、概述在中学数学中，思维的严密性表现为思维过程服从于严格的逻辑规则，考察问题时严格、准确，进行运算和推理时精确无误。数学是一门具有高度抽象性和精密逻辑性的科学，论证的严密性是数学的根本特点之一。但是，由于认知水平和心里特征等因素的影响，中学生的思维过程常常出现不严密现象，主要表现在以下几个方面：概念模糊概念是数学理论体系中十分重要的组成部分。它是构成判断、推理的要素。因此必须弄清概念，搞清概念的内涵和外延，为

2、判断和推理奠定基础。概念不清就容易陷入思维混乱，产生错误。判断错误判断是对思维对象的性质、关系、状态、存在等情况有所断定的一种思维形式。数学中的判断通常称为命题。在数学中，如果概念不清，很容易导致判断错误。例如，“函数是一个减函数”就是一个错误判断。推理错误推理是运用已知判断推导出新的判断的思维形式。它是判断和判断的联合。任何一个论证都是由推理来实现的，推理出错，说明思维不严密。例如，解不等式解或这个推理是错误的。在由推导时，没有讨论的正、负，理由不充分，所以出错。二、思维训练实例思维的严密性是学好数学的关键之一。训练的有

3、效途径之一是查错。(1)有关概念的训练概念是抽象思维的基础，数学推理离不开概念。“正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。”《中学数学教学大纲》（试行草案）例1、不等式错误解法第11页数学驿站http://www.maths168.com错误分析当时，真数且在所求的范围内（因），说明解法错误。原因是没有弄清对数定义。此题忽视了“对数的真数大于零”这一条件造成解法错误，表现出思维的不严密性。正确解法例1、求过点的直线，使它与抛物线仅有一个交点。错误解法设所求的过点的直线为，则它与抛物线的交点为，消去得：整理得直线与抛物线仅

4、有一个交点，解得所求直线为错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为时，没有考虑与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系数不能为零，即而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。正确解法当所求直线斜率不存在时，即直线垂直

5、轴，因为过点，所以即轴，它正好与抛物线相切。第11页数学驿站http://www.maths168.com当所求直线斜率为零时，直线为平行轴，它正好与抛物线只有一个交点。设所求的过点的直线为则，令解得所求直线为综上，满足条件的直线为：(2)判断的训练造成判断错误的原因很多，我们在学习中，应重视如下几个方面。①注意定理、公式成立的条件数学上的定理和公式都是在一定条件下成立的。如果忽视了成立的条件，解题中难免出现错误。例1、实数，使方程至少有一个实根。错误解法方程至少有一个实根，或错误分析实数集合是复数集合的真子集，所以在实数

6、范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一定成立，必须经过严格推广后方可使用。一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方程中，造成解法错误。正确解法设是方程的实数根，则由于都是实数，解得例4已知双曲线的右准线为，右焦点,离心率,求双曲线方程。第11页数学驿站http://www.maths168.com错解1故所求的双曲线方程为错解2由焦点知故所求的双曲线方程为错解分析这两个解法都是误认为双曲线的中心在原点，而题中并没有告诉中心在原点这个条件。由于判断错误，而造成解法错误。随

7、意增加、遗漏题设条件，都会产生错误解法。正解1设为双曲线上任意一点，因为双曲线的右准线为，右焦点，离心率，由双曲线的定义知整理得正解2依题意，设双曲线的中心为则解得所以故所求双曲线方程为第11页数学驿站http://www.maths168.com②注意充分条件、必要条件和充分必要条件在解题中的运用我们知道：如果成立，那么成立，即，则称是的充分条件。如果成立，那么成立，即，则称是的必要条件。如果，则称是的充分必要条件。充分条件和必要条件中我们的学习中经常遇到。像讨论方程组的解，求满足条件的点的轨迹等等。但充分条件和必要条件

8、中解题中的作用不同，稍用疏忽，就会出错。例5解不等式错误解法要使原不等式成立，只需解得错误分析不等式成立的充分必要条件是：或原不等式的解法只考虑了一种情况，而忽视了另一种情况，所考虑的情况只是原不等式成立的充分条件，而不是充分必要条件，其错误解法的实质，是把充分条件当成了充分必要条件。正确解法要使原不等