桥式电路的状态空间研究

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1、维普资讯http://www.cqvip.com第6卷第4期泰州职业技术学院学报Vo1．6No．42006年8月JournalofTaizhouPolytechnicalInstituteAug．2006桥式电路的状态空间研究张天瑜(无锡市广播电视大学信息工程系，江苏无锡214021)摘要：分析设计系统的第一步就是建立描述系统的数学模型，由于分析目的和分析方法的不同，所以建立起的数学模型也不尽相同。传统的分析方法是通过网络函数对系统进行描述，由于描述系统特性不全面，故需要用一种全新的数学模型来对系统进行描述。由系统的输入一输出描述法着手进而介绍线性定常连续系

2、统的状态空间描述，详细阐述了格兰姆可控规范型矩阵的构造和实现步骤，并就此情况给出了一个具有较高分析价值的桥式电路。关键词：线性定常连续系统；状态空间；可控规范型；格兰姆矩阵中图分类号：TN710文献标识码：A文章编号：1671—0142(2006)04—0039—05在经典的控制理论中通常利用传递函数并结合拉普拉斯变换，在复频域内对单输入单输~(SISO)线性定常系统进行波特图、根轨迹方面的分析。但是它们都有其局限性。传递函数仅对SISO系统有效，对系统内部的某些变量不便或不能描述，且忽略了系统初始条件的影响。鉴于20世纪60年代以来控制工程的高速发展，人们

3、可以利用计算机进行分析设计和实时控制，因而需要处理大量时变、非线性、多输人多输出fMIMO)系统的问题，于是系统的状态空间描述这一崭新的数学分析方法逐步被人们所重视，它是以线性代数和状态变量为基本工具，在时域内研究多变量系统⋯。状态空间描述不仅能处理时变、非线性系统，而且还能了解系统内部状态的变化规律，设计时考虑到了系统的初始条件。尽管任何实际系统都是含有非线性因素的，但通常情况下，许多系统还是能用线性模型来体现它内在的特点，再加上在数学方面利用MATLAB软件对此类线性系统的分析计算比较方便，故线性系统的状态空间分析目前已成为电路矩阵分析、最优控制、最优估

4、计、系统识别、自适应控制等许多学科的基础。1、线性系统可控规范型的相关知识1．1线性系统状态空间的描述(1)状态和状态变量表征系统运动的信息称为状态，它能完全描述系统的时域行为Ⅲ。确定系统状态的一组最少的独立变量称为状态变量。一个n阶系统可用几个独立的状态变量。(t)，(f)，⋯，(f)，来确定系统的状态。所谓完全描述是指对于一个用凡阶微分方程来描述的系统，当初始条件(t。)，x(t。)，⋯，n—D(幻)及t≥幻时的输入量u(f)给定时，即可唯一确定系统以后的状态。状态变量的选取不具有唯一性，而且不一定是可测量或可观测的量，有时只有数学意义，以便于从数学模型

5、上总结出一般规律。(2)状态空间以n个状态变量。(t)，(t)，⋯，(t)为坐标轴所构成的欧氏空间即称为状态空间⋯。系统在任一时刻，在状态空间中就用一点来表示，随着时间的推移，系统状态在变化，于是该点在状态空间中运动描绘出一条轨迹称为状态轨迹。(3)状态方程状态变量的一阶导数与状态变量、输入量的关系称为状态方程Ⅲ。由于凡阶系统具有n个独立的状作者简介：张天瑜(1980一)，男，江苏无锡人，助教，工程硕士研究生，研究方向通信、电子、控制维普资讯http://www.cqvip.com泰州职业技术学院学报第4期态变量，故系统的状态方程是n个联立的一阶微分方程。下

6、面是MIMO线性定常连续系统状态方程的一般表达式：l=0ll+0l22+⋯+0l，n+6Ill+6l22+⋯+62=n2l+0,22a；2+⋯+a2rn+62l1,l+b22u2+⋯+6肇=％l+an2x2+⋯++6ll+bau2+⋯+6，lP把上式写成向量矩阵形式为：z+u其中0l10'12⋯0InbIlbl2⋯blpln2l⋯％b2lb⋯b2pI$2，A=，B=●：％1⋯‰blb⋯b状态方程通常是由系统的微分方程或传递函数导出，由于状态变量的选取不具有唯一性，所以状态方程也不具有唯一性。对一个具体系统而言，尽管状态方程的形式不同，它们之间却存在着某种线性

7、变换。以图l的R￡c振荡电路为例，根据基尔霍夫电压定律列出如下微分方程：Ri+￡鲁+1』=u第一组状态变量选取为z。==』，则状态方程为-=一z-一z+u，z=1z-其向量矩阵形Rl￡￡+U一式为：【2Jl0C第二组状态变量选取为。=，=J，则同样可以写出其向量矩阵形、fR1]一f11劫一一于是有z--+0_2，zz=0+_2，z=图lRLc振荡电路式中J，__J，f0I，以上表明只要令席，便可将zz变换为_l。若取任意的非奇异变换阵P，便可以变换出无穷组状态变量，这进一步证实了状态变量选择具有非唯一性。由于事先一般不知道选择哪组状态变量会使系统矩阵最简单，

8、而应用模态矩阵或修正的模态矩阵Q总可以将相似变换为对