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1、2012年上海高考数学(理科)试卷一、填空题(本大题共有14题,满分56分)1.计算:=(i为虚数单位).2.若集合,,则=.3.函数的值域是.4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为(结果用反三角函数值表示).5.在的二项展开式中,常数项等于.6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则.7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范围是.8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2p的半圆面,则该圆锥的体积为.9.已知是奇函数,且.若,则.xOMlaOMxla10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐
2、标方程写成的形式,则.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).12.在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满足,则的取值范围是.13.已知函数的图像是折线段ABC,若中A(0,0),B(,5),C(1,0).函数的图像与x轴围成的图形的面积为.ABCD14.如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2.若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c为常数,则四面体ABCD的体积的最大值是.二、选择题(本大题共有4题,满
3、分20分)15.若是关于x的实系数方程的一个复数根,则()(A).(B).(C).(D).16.在中,若,则的形状是()(A)锐角三角形.(B)直角三角形.(C)钝角三角形.(D)不能确定.17.设,.随机变量取值、、、、的概率均为0.2,随机变量取值、、、、的概率也为0.2.若记、分别为、的方差,则()(A)>.(B)=.(C)<.(D)与的大小关系与、、、的取值有关.18.设,.在中,正数的个数是()ABCDPE(A)25.(B)50.(C)75.(D)100.三、解答题(本大题共有5题,满分74分)19.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥底面ABCD,E是PC的中点
4、.已知AB=2,AD=2,PA=2.求:(1)三角形PCD的面积;(6分)(2)异面直线BC与AE所成的角的大小.(6分)20.已知函数.(1)若,求的取值范围;(6分)(2)若是以2为周期的偶函数,且当时,有,求函数的反函数.(8分)21.海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海xOyPA里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发小时后,失事船所在位置的横坐标为.(1)当时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰
5、好会合,求救援船速度的大小和方向;(6分)(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?(8分)22.在平面直角坐标系中,已知双曲线.(1)过的左顶点引的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面积;(4分)(2)设斜率为1的直线l交于P、Q两点,若l与圆相切,求证:OP⊥OQ;(6分)(3)设椭圆.若M、N分别是、上的动点,且OM⊥ON,求证:O到直线MN的距离是定值.(6分)23.对于数集,其中,,定义向量集.若对于任意,存在,使得,则称X具有性质P.例如具有性质P.(1)若x>2,且,求x的值;(4分)(2)若X具有性质P,求证:1ÎX,且当xn>1时,x1=1
6、;(6分)(3)若X具有性质P,且x1=1,x2=q(q为常数),求有穷数列的通项公式.(8分)2012年上海高考数学(理科)试卷解答一、填空题(本大题共有14题,满分56分)1.计算:=1-2i(i为虚数单位).2.若集合,,则=.3.函数的值域是.4.若是直线的一个法向量,则的倾斜角的大小为arctan2(结果用反三角函数值表示).5.在的二项展开式中,常数项等于-160.6.有一列正方体,棱长组成以1为首项,为公比的等比数列,体积分别记为V1,V2,…,Vn,…,则.7.已知函数(a为常数).若在区间[1,+¥)上是增函数,则a的取值范围是(-¥,1].8.若一个圆锥的侧面展开图是面积为
7、2p的半圆面,则该圆锥的体积为.xOMla9.已知是奇函数,且.若,则-1.10.如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式,则.11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是(结果用最简分数表示).12.在平行四边形ABCD中,∠A=,边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点,且满
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