泰州市姜堰区2014-2015年高二上学期中数学（理）试卷

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1、江苏省泰州市姜堰区2014-2015学年高二上学期中考试数学（理）(考试用时：120分钟满分160分)注意事项：所有试卷的答案均填写在答题纸上，答案写在试卷上无效。一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）1.在直角坐标系中，直线的斜率是▲．2.圆的半径是▲．3.椭圆的焦点坐标为▲．4.抛物线的准线方程为▲．5.双曲线的渐近线方程是▲．6.若圆与圆相外切，则实数▲．7.已知点P为直线上一动点，则P到坐标原点的距离的最小值是▲．8.若方程表示椭圆，则的取值范围是▲．9.已知两圆和相交于A，B两点，则直线AB的方程是▲．10.已知点P在抛物线上运动，F为抛物线的焦点，点M的

2、坐标为（3,2），当取最小值时，点P的坐标为▲．11.已知点P是圆C：上任意一点，若点P关于直线的对称点仍在圆C上，则的最小值是▲．12.已知O为坐标原点，点，动点P与两点O、A的距离之比为1∶，则P点轨迹方程是▲.13.设集合，当时，则实数的取值范围是▲．14.已知椭圆C：的左、右焦点分别、，过点的直线交椭圆C于两点，若，且，则椭圆C的离心率是▲.二、解答题（本题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（本小题满分14分）已知三点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）．（Ⅰ）求以、为焦点且过点P的椭圆的标准方程；（Ⅱ）设点P、、关于直线的对称点分别为

3、、、，求以、为焦点且过点的双曲线的标准方程．17．（本题满分14分）某城市交通规划中，拟在以点O为圆心，半径为50m的高架圆形车道外侧P处开一个出口，以与圆形道相切的方式，引申一条直道连接到距圆形道圆心O正北250m的道路上C处（如图），以O为原点，OC为y轴建立如图所示的直角坐标系，求直道PC所在的直线方程，并计算出口P的坐标.250北CPOxy18．（本题满分16分）过点P(–4，4)作直线l与圆O：相交于A、B两点.（Ⅰ）若直线l变动时，求AB中点M的轨迹方程；（Ⅱ）若直线l的斜率为，求弦AB的长；POAQMBxy•••（Ⅲ）若一直线与圆O相切于点Q且与轴的正半轴，轴的正半

4、轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，求点Q的坐标．19．（本题满分16分）在平面直角坐标系中，抛物线C的顶点在原点，经过点其焦点F在轴上.（Ⅰ）求抛物线C的标准方程；（Ⅱ）求过点F和OA的中点的直线的方程；xyOAF··BDP（Ⅲ）设点,过点F的直线交抛物线C于B、D两点，记PB,PF,PD的斜率分别为，求证：．20.（本题满分16分）在平面直角坐标系中，已知定点A（-4，0），B（4，0），动点P与A、B连线的斜率之积为.（Ⅰ）求点P的轨迹方程；（Ⅱ）设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C，半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分线上，且在y轴右侧，圆M被y轴截得弦长为.⑴求圆

5、M的方程；⑵当r变化时，是否存在定直线l与动圆M均相切？如果存在，求出定直线l的方程；如果不存在，说明理由．2014-2015学年度第一学期期中试卷高二数学（理科）参考答案一、填空题1.22.33.4.5.6.7.8.9.x+3y–5=010.11.1812.（或）13.14.二、解答题15.解：由题意得：（1），解得：，所以………3分因为所求直线与直线平行，所以，则所求直线方程为：………………7分（2）直线MN所在直线的斜率为：………………10分因为所求直线与两点所在直线垂直，所以则所求直线方程为：………………14分16.解：（1）由题意，可设所求椭圆的标准方程为+，其半焦距．

6、，∴，，………………5分故所求椭圆的标准方程为+；………………7分（2）点P（5，2）、（－6，0）、（6，0）关于直线y＝x的对称点分别为：、（0，-6）、（0，6）………………9分设所求双曲线的标准方程为-，由题意知半焦距，，∴，，………………12分故所求双曲线的标准方程为–．………………14分17.解：圆形道的方程为x2+y2=2500，………………2分引伸道与北向道路的交接点C的坐标为(0,250)，………………4分设的方程为，由图可知又与圆相切，到距离，解得，的方程为①，………………8分又，则OP的方程是：②………………10分由①②解之得点坐标………………13分∴引伸道

7、在所建坐标系中的方程为，出口P的坐标是……………………14分18.解：（1）因为点M是AB的中点，所以OM⊥AB，则点M所在曲线是以OP为直径的圆，其方程为，即；……………………4分（2）因为直线l的斜率为，所以直线l的方程是：，即，……………………6分设点O到直线l的距离为d，则，所以，解得：；……………………10分（3）设切点Q的坐标为．则切线斜率为．所以切线方程为．又，则……………………12分此时，两个坐标轴的正半轴于切线围成的三角形面积．……14分由知当且仅当时，有最大值