十三 导数及其应用

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1、十三导数的应用题例1．函数的单调递增区间是　A．B．（0，3）C．（1，4）D．2．设，若函数，，有大于零的极值点，则A、B、C、D、2BCAyx1O345612343．如图，函数的图象是折线段，其中的坐标分别为，则；．（用数字作答）4．已知函数，对于上的任意，有如下条件：①；②；③．其中能使恒成立的条件序号是．5．已知，若方程的两个实数根可以分别作为一个椭圆和双曲线的离心率，则ABCD6．已知函数求的单调区间；若在处取得极值，直线y=m与的图象有三个不同的交点，求m的取值范围。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2、解：（1）当时，对，有当时，的单调增区间为，当时，由解得或；由解得，当时，的单调增区间为；的单调减区间为。（2）在处取得极大值，由解得。由（1）中的单调性可知，在处取得极大值，在处取得极小值。直线与函数的图象有三个不同的交点，又，，结合的单调性可知，的取值范围是。7．设函数在处取得极值，且曲线在点处的切线垂直于直线．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若函数，讨论的单调性．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解（Ⅰ）因又在x=0处取得极限值，故从而由曲线y=在（1，f（1））处的切线与直线相互垂直可知该切线斜率为2，即（Ⅱ）由（Ⅰ

3、）知，令（1）当（2）当，K=1时，g（x）在R上为增函数（3）方程有两个不相等实根当函数当时，故上为减函数时，故上为增函数8．已知函数其中（1）当时，求曲线处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）当时，求函数的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。（I）（II）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m以下分两种情况讨论。（1）＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表

4、：+0—0+↗极大值↘极小值↗w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗w.w.w.k.s.5.u.c.o.m9．已知函数在处取得极值-3-c，其中a、b为常数.（Ⅰ）试确定a、b的值；（Ⅱ）讨论函数的单调区间；（Ⅲ）若对任意，不等式恒成立，求的取值范围.解：（Ⅰ）由题意知，因此，从而.又对求导得.由题意，因此，解得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知.令，解得.当时，，此时为减函数；当时，，此时为增函数.因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为.（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在

5、处取得极小值，此极小值也是最小值.要使恒成立，只需.即，从而.解得或.10．已知，函数（1）若函数没有零点，求实数的取值范围；（2）若函数存在极大值，并记为，求的表达式；（3）当时，求证：11．已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；（3）证明：补充题例12．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：．解：（1）求函数的导数；．曲线在点处的切线方程为：，即．（2）如果有一条切线过点，则存在，使．于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实

6、数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：000极大值极小值由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即．13．已知函数f(x)=x-ax+(a-1)，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。解：(1)的定义域为。2分（i）若即,则故在单调增加。(ii)若,而,故,则当时，;当及时，故在单调减少，在单调

7、增加。(iii)若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.(II)考虑函数则由于1

8、.5.u.c.o.m16.已知函数（1）求函数在区间上的最大值，最小值；（2）求证：在区间上函数的图象在函数图象的下方；（3）请你构造函数，使函数在定义域上存在两个极值点，并证明你的结论。17.已知函数（1）若方程在内有两个不等的实根，求实数的取值范围；（2）如果函数的图象与轴交于两点求证：18.设函数（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）已知对任意成