精校解析Word版---高考专题31 复数的解题策略-高考数学（理）命题热点

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1、高考专题31复数的解题策略一．【学习目标】1．理解复数的有关概念，掌握复数相等的充要条件，并会应用．2．了解复数的代数形式的表示方法，能进行复数的代数形式的四则运算．3．了解复数代数形式的几何意义及复数的加、减法的几何意义，会简单应用．二．知识点与方法总结1．复数的有关概念(1)复数的概念形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的实部和虚部，若b≠0，则a＋bi为虚数，若a=0，则a＋bi为纯虚数，i为虚数单位．(2)复数相等：复数a＋bi＝c＋di⇔a=c,b=d(a，b，c，d∈R)．(3)共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔a=c,b=-d(a，b，c，

2、d∈R)．(4)复数的模向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作

3、z

4、或

5、a＋bi

6、，即

7、z

8、＝

9、a＋bi

10、．2．复数的四则运算设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；(4)除法：＝＝＝＝＋i(c＋di≠0)．3．两条性质(1)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，in＋in＋1＋

11、in＋2＋in＋3＝0(其中n∈N*)；(2)(1±i)2＝±2i，＝i，＝－i.4.方法规律总结（1）.设z＝a＋bi(a，b∈R)，利用复数相等的充要条件转化为实数问题是求解复数常用的方法.（2）.实数的共轭复数是它本身，两个纯虚数的积是实数.（3）.复数问题几何化，利用复数、复数的模、复数运算的几何意义，转化条件和结论，有效利用数和形的结合，取得事半功倍的效果.三．典例分析（一）复数的概念例1．若复数（为虚数单位）在复平面内对应的点在虚轴上，则实数（）A．B．2C．D．【答案】D【解析】复数在复平面内对应的点在虚轴上，则，故选练习1．若复数z＝（3﹣6i）（1+9i），

12、则（　　）A．复数z的实部为21B．复数z的虚部为33C．复数z的共轭复数为57﹣21iD．在复平面内，复数z所对应的点位于第二象限【答案】C练习2．若复数（为虚数单位），则复数在坐标平面内对应点的坐标为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】z，则复数z在复平面内对应点的坐标是：（1，-1）．故选：B．（二）复数的几何意义例2．已知复数在复平面内对应的点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】∵复数在复平面内对应的点分别为（1，1），（0，1），∴＝1+i，＝i．∴．故选：D．练习1．复数在复平面上对应的点位于　　A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案

13、】A【解析】因为所以复数z在复平面所对应的点是（1,3）练习2．设复数满足，其中为虚数单位，则复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】由（1+i）2•z＝2+i，得2iz＝2+i，∴，∴复数z对应的点的坐标为（，﹣1），位于第四象限．故选：D．练习3．已知，且，则实数的值为（）A．0B．1C．D．【答案】C【解析】∵，∴∴＝3,得，则，∴a=，故选：C．，建立等式,建立等式，得到，解得，故错误。故选B。练习4．复数（是虚数单位）的共轭复数表示的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为,所以表示

14、的点在第二象限，故选B．练习5．复数z1=1-2i,

15、z2

16、=3,则

17、z2-z1

18、的最大值是___________．【答案】【解析】因为，所以其对应点的坐标为，设对应点的坐标为，由得，即所以可看出，点与圆上任意一点的距离，所以其最大值为.故答案为（六）复数综合例6．欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【解析】因为，所以对应点，在第二象限，选B.练习1．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为

19、实数集，C为复数集)：①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，c∈C，a－c＝0⇒a＝c”；②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；③“若a，b∈R，则a－b＞0⇒a＞b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＞0⇒a＞b”．④“若x∈R，则

20、x

21、<1⇒－1

22、z

23、<1⇒－1