应用均值不等式解竞赛题

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1、·课外园地·数学通讯——2009年第5、6期(上半月)85应用均值不等式解竞赛题吴祥成(湖北省沙市中学，434000)，均值不等式是一个重要的不等式．在各种数学号)，求函数一+的最小值．竞赛中经常出现与之有关的题目，灵活而巧妙地应分析不能直接应用均值不等式，应采用添项用均值不等式，往往可以使一些难题迎刃而解．均值不等式设口-，nz，⋯，口都是正数，则与拆项技巧，将拆成—+，为T@JL+COS．XZ'cOsxCoS±!±：：：!式子的乘积产生常数，根据式子的特征，应添上ksinX+kcos。．当且仅当n一一⋯一n时等号成立．利用均值不等式．可得到以下常用结论：讲

2、解因z∈(o，号)，所以sinx>O,cosx>1)设n，6∈R。则丢+÷≥4；0，设k>0，则一in2x+上+上+cos2x一(2)设4，b，C∈R，则COSXCOSX丢++÷≥；是≥15√+3拓一①当且仅当丽225一奄siD2(3)n．6，∈R十’则詈+≥+十),．7t5且一七cos2．即sin2x应用均值不等式时常用的技巧有：常数代挚，添~29COS2X：1时·①式等号成立·此时，项，拆项，引入参数，变量代换，反复使用，结构的15．1，变形．十丽一L例1(2008年江苏赛区复赛试题)已知a，6，c，设，则2t‘+15t一2一o，而d为正实数．且a+b+c

3、+d一4，求证：2+15t3—2=2t4一。+16t3—2n。IX+bzda+c2da+d。幻≤4．。一t(2t一1)+2(2t一1)(4￡。+2t+1)分析左端为四项的和，可先变为乘积的形一(2t一1)(￡3+8d．4-4t4-2)．式，再使用均值不等式．故(2￡一1)(4-8t。4-4t+2)一0．讲解a。+6。da+C2da+d一ab(ac+bd)+cd(ac+bd)注意到O<一T1≤1·易知满足限制条件的一(oh+cd)(ac+bd)根只有=÷．≤(ab+cd+ac+bd)。，=．z．≤1()4．当f一÷时。=1—64，不等式①取得等号．．nnt,-n

4、的最小值为所以函数一+评注左端是四项之和，应想到因式分解，把4SlrrZCOSX它变成乘积的形式，这是本题应用均值不等式的15瓜+3酉一64：68．关键．评注本题的关键是根据式子的特征拆项与例2(2007年湖北省预赛试题)设∈(O，添项．再抓住等号成寺的条件求出参数k的值．86数学通讯——2O09年第5、6期(上半月)·课外园地·例3(2007年厂西赛区预赛试题)已知步厦用均值不辱式．AABC的三边长分别为a，6．c且满足abc=2(a一讲解由条件有+．令a+bz。b+c—y．c+a=z，则(1)是否存在边长均为整数的／xABC?若存在，x+z-y6一x+y-

5、z求出三边长}若不存在．说明理由．口=．．c=2．22(2)若a>1，b>1，C>1，试求AABC周长的从而条件转化为最小值．x+y一+—z+x_一—一1①分析为突出本文的主题，只考虑第(2)问．根V根据均值不等式及前面介绍的常见结论(1)据已知等式的结构特征，可先将它变形为专=(1-可得a)(1一÷D)(1一C)．由均值不等式求出a+{D+暨+—z+—x一三+三+上+三÷的最大值·再由卅¨c≥{求得≥三+三+2≥+2②zYz十qz+y一￡AABC周长的最小值．，则由①和②得￡≥+l。解得讲解由abe一2(a一1)(6—1)(f—1)得t≥或r≤(舍12一(1

6、-1)(11)(1-1)c．故一=t一1根据均值不等式．有≥．a十cZ‘哩(1一)(1一)(1一)评注当分母是多项式时，采用换元，使分母成为单项式，更容易发现解决问题的方法。在本题(1一)+(1一下1)+(1一)中．还要善于观察，利用熟知的结论+1≥≤[——————————三--]a．÷(，∈lt+)解决问题．故吉+÷+÷≤s一3．十V例5(2002年湖南省预赛试题)设长方体的又(口+6+c)(上+_1+上)≥9．所以长、宽、高分别为n·b·c·其对角线长为Z，试证：(f．一a‘)(Z一)(—c．)≥512a‘6．c．．¨1{11分析根据式子的结构特征。可变形

7、为(l4≥毒一·一1)(等一1)(一1)≥512．再由a。+6z+f2一z。．想到换元法，再由均值不等式证得结论．故△ABc周长的最小值为．当且仅当n讲解原不等式等价于(一1)(一1)(l4一=6=c=矗时·取得此最小值．1)≥512．评注本题需将结构改变。再应用均值不等设z=a2．=笋。：．则z++z—l，式．改变结构．应抓住式子的特征．且原不等式可变成例4(zoos年湖南省预赛试题)若正数口．b．(一1)(一1)(一．1)≥512①满足=一南枷≥．由一=·课外园地·数学通讯——2OO9年第5、6期(上半月)87：1±兰!兰±=兰±．-_兰●一≥1·3=寻．

8、评注本题是一道分式不等式，利用取等号的