有理数的混合运算例题与讲解

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1、有理数的混合运算基础知识,基本技能1.有理数的混合运算(1)有理数的混合运算一个算式中含有加、减、乘、除、乘方运算中的两种以上的运算,就是有理数的混合运算.如:-42×[(1-7)÷6]3+[(-5)3-3]÷(-2)3.(2)混合运算的顺序先算乘方,再算乘除,最后算加减.如果有括号,先算括号里面的.谈重点混合运算的运算顺序①加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算.②含有多级运算时,要从高级到低级,即先做第三级运算,再做第二级运算,最后做第一级运算,同级运算要从左到右依次运算.③有括号的按小括号、中括号、大括号的顺序进行.【例1】计算:(1)-0.25

2、2÷3×(-1)2013+(-2)2×(-3)2;(2)2-+2013-1×÷1.分析:(1)算式中的“+”号把整个算式分为两段,可以先分别计算“+”前后的两项,再求和.计算中要注意各项的符号;(2)本题中的算式含有括号,要先算括号内的运算,再按照“先乘方,再乘除,最后加减”的运算顺序进行运算.解:(1)原式=-2÷×(-1)+4×9=-×8×1+4×9=-+36=35.(2)2-+(-1)2013-1×÷1=2-+(-1)-××=-+(-1)-×=-1+=-.点评:学好有理数的混合运算需过四关:符号关、转化关、运算顺序关和运算律关.在计算的过程中,要注意根据运算的法则,先确定符号,再算

3、绝对值;要注意根据算式的特点,适时地化减为加、化除为乘、化带分数为假分数,化小数为分数等.基本方法,基本能力2.混合运算中的简便运算技巧(1)运算律的使用有理数的混合运算要注意运用运算律简化运算.运算律有:加法交换律、结合律,乘法交换律、结合律、分配律.解题时要根据题目特征,灵活选择.析规律有理数运算的技巧①统一转化,即减法转化为加法,除法转化为乘法.②利用运算律改变运算顺序,能凑整的、同号的放在一起相加,能约分的放在一起乘.③注意乘方和乘方的相反数的区别.如:(-1)4≠-14.(2)有理数混合运算中的常见技巧①巧逆用:逆用乘法分配律.②巧拆分:先将一个数拆分成两部分的和,再借助于乘法

4、分配律计算.③巧分解:将一个数分解成几个因数的积.④巧分段:借助于混合运算中的加减号或括号分段计算,最后再运算.⑤巧转化:减法转化为加法,除法转化为乘法.不是每个题都能用到上面的运算技巧,要根据题目的特点,灵活选择适当的方法,以简便为主.【例2-1】计算:÷+.分析:算式中含有除法和加法,还有括号,可以先算括号里面的,也可以先把除法转化为乘法,利用乘法分配律简化运算.解:(方法1)÷+=÷+=×+=+=-3.(方法2)÷+=×+=×-×-×+=-2+1++=-3.【例2-2】计算:+++++.分析:解答本题若采取由前向后逐次相加的方法计算,计算的过程比较繁琐.根据算式的特点,我们可以在算

5、式的末尾添加辅助数-(其实就是0),这样原来算式的最后一项与新添加的相加得,再与前项相加,得,……,由此发生了“连锁反应”,简化了计算的过程.解:原式=++++++-=+++++-=++++-=…=1-=.思维拓展,创新应用3.有理数与“24点”利用有理数的混合运算可以进行一些组合与游戏设计,如与混合运算有关的“24点”游戏.“24点”游戏规则:任取1~13之间的四个整数,将这四个数(或相反数)进行加、减、乘、除四则运算(每个数用且只用一次),使其结果等于24或-24.【例3】根据“24点”游戏规则,现有四个有理数3,4,-6,10.运用规则写出三种不同的运算式使其结果等于24.分析:对

6、此问题,可以从24的尾数是4考虑,对乘法有2×12=24,4×6=24,3×8=24等,还应考虑到负数的参与,要灵活运用括号,各种运算不一定都用到.解:(1)3×[4+10+(-6)];(2)10-[4+3×(-6)];(3)4-(-6)÷3×10.4.有理数的混合运算的应用利用混合运算,解决生活实际问题的主要步骤是:①分析题意,弄清问题,将实际问题转化为数学问题;②根据题意选择适当的运算列出算式;③运用有理数的混合运算顺序与技巧进行计算;④写出答案.【例4】某个家庭为了估计自己家6月份的用电量,对月初的一周每天电表的读数进行了记录,上周日电表的读数是115度.以后每日的读数如下表(表中

7、单位:度),请你估计6月份大约用多少度电.星期一二三四五六日电表的读数118122127133136140143分析:通过对一周电度表的读数的记载可以算出这一周各天的用电量,也可以用这周日的电度表读数减去上周日的电度表读数,求出这一周的总用电量,从而算出这一周的平均每天用电量,用这周的平均每天用电量乘30,就可以估算出6月份大约用多少度电.解:(方法1)[(118-115)+(122-118)+(127-122)+(133-127)

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