关于边际替代率公式证明的讨论

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1、第29第l期高师理科学刊V01．29No．12009年1月JournalofScienceofTeachersCollegeandUniversityJan．2009文章编号：1007—9831(2009)01—0044—03关于边际替代率公式证明的讨论毛克宁(肇庆科技职业技术学院工商管理系，广东肇庆526020)摘要：对教科书中常见的对边际替代率公式证明中不严格及不合理之处作了严格的阐述及修正，并尝试性地给出另一种证明，它对边际替代率的2种定义方式都适用．关键词：边际替代率；商品；消费者；效用中图分类号：TB11文献标识码：A假定有A和B2种商品，将这2种商品的量值分别记成X，Y；A

2、对B的边际替代率表不为．假定消费者在保持同等程度的满足时，若增加(减少)商品A的消费量，则必须减少(增加)商品B的消费量．将商品A消费量的改变量记为AX，将商品B消费量的改变量记为△y．边际替代率有2种定义方法“：～_IAXI(1)AYMRSss=ltim(2)-+。0△xIIdXI将商品A的边际效用记为MUA，将商品B的边际效用记为MUB(这里假定MUA，MUB都大于零)．则有^R．^B：—MU—A(3)^￡／B对于公式(3)有时采用如下解释方法口：在消费者保持同等满足程度的前提下，增加(减少)l△xI所增大(减少)的商品A的效用MUA·If应等于减少(增加)I△yl所减小(增大)的

3、商品B的效用M·IArI，即有·II=MUB·lAYl，亦即=，于是根据式(1)得到=MUA．而这样的解释是不严谨的，或者说是将问题简单化了，它不能作为公式(3)的严格证明．如将II作为商品A在量值X处的增加量，将l△yl作为商品B在量值y处的减少量，那么认为增加II所增大的商品A的效用为·I△xf，意味着默认了商品A在区间，X+I△xIj上的边际效用不变；认为减少l△yI所减少的商品B的效用为M·IAYI，意味着默认了商品B在区间[y—Ar'l，】，】上的边际效用不变．事实上，X值的变动必然对MUA产生影响．假定X是连续变化的，则商品A增大的效用为X+laxlMUA(q)∞；同理，y

4、值的变动必然对产生影响．假定y是连续变化的，则商品B减小的效用为M)dql：MU~(q)dq．收稿日期：2008-09—12作者简介：毛克宁(1959一)，男，北京人，副教授，硕士，从事数学经济应用研究．E-mail：Mekingl133@sina．CO[1l第l期毛克宁：关于边际替代率公式证明的讨论45对于公式(3)的证明，一些教科书上采用微分的形式：“设效用函数为丁u：fx，yJ，~lJdTU—OTUdXOTUdY+—．由于丁u即总效用保持不变，为一常数，～oXoYa丁所以d=。，那么OTU=OTUdy一，进而=一，取其绝对值，即有：．”ayY=。(同时OTU也为。)这样证明会产生

5、一个令人困惑的问题：既然为一常数，必然O，从而上=ar己，面推导中的分式没有意义．在教科书中却没有对此进行解释，给出公式(3)的严格证明·OY定理1定义边际替代率MAB=lim：ll，商品A的边际效用为，商品B的边际效用为M=．证明消费者为保持同等程度的满足，当增加(减少)商品A的消费量时，必须减少(增加)商品B的消费量，y值随X值的变动而变动．因此可将Y作为X的函数，将这一函数记为Y=Y(X)．显然，代表消费者上述满足程度的总效用函数=u(x，】，(x))为X的常数函数．因此，兀，对自变a量的导数等于0_即=+OUdY_0进而一dYOXMUA==，．因一=l，故有aySAB：—MUa

6、—．证毕．要特别说明的是，作为x的一元函数，=(，y(x))是常数函数，但在进行偏导数与的运算时，则将二元效用函数U=u(x，y)作为具有2个独立自变量X和Y的二元函数．由于二元效用函数u(x，y)表示数量分别为X，Y的A，B2种商品给消费者带来的效用，因此它不是常数，并且对于取定的x，u(x，，，)也不是】，的常数函数(其值随y而变)．因此，在这里OU不恒等a于0．于是在这里可以假定(=M)≠0．这样，推导中的OX是有意义的．ay定理1的证明在理论是严格，但仅适用于式(2)-再给出一种证明方法，对于边际替代率的2种定义方式都适用．定理2商品A的边际效用为，商品B的边际效用为MUB，对

7、于边际替代率的式(1)或(2)，都有AB：—MUA—．证明商品A消费量的改变量记为AX，将商品B消费量的改变量记为△y，显然AX与△y正负不同．消费者对于商品组合(X，'，)与(x十AX，Y+AY)具有相同程度的效用，即u(x+AX，Y+AY)=u(x，y)，从而u(x+，Y+AY)一U(+AX，y)=一((x+，】，)一U(x，y))，进——步AYu(x+AX，Y+AY)一u(x+△，y)U(X+AX，y)一u(x，Y)⋯-。。。。。。。‘-