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《三十六技之二正确运用极限性质》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、2006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433____________________________________________________________________________________________三十六技之二：正确运用极限性质分式极限是重点，性质运用是保证，谨慎处理广义用，穿过险滩是成功。巧用极限的保序性、有界性与唯一性，正确快速运用极限运算法则。极限的保序性是极限的重要性质之一，由极限的保序性可以得到许
2、多相关重要性质，例如：由导数的正负号决定的函数局部比较性质，连续函数的保号性质，积分的保序性、积分估值定理与比较性质等等，而这些知识点通通为重要考点。掌握了极限的保序性概念，会一通百通，否则，对许多问题的处理，都会有困惑。21ln(1+f(x))例2-1设f)0(=0，f′)0(存在,当x>0时f(x)>0，lim1[+]x=e,x→0sinx则f′)0(=（）。22(A)0。(B)−。(C)。(D)e。22【解】答案：(C)。f′(x)例2-2设f′′(x)在x=a处连续,且lim=−1,则（
3、）。x→aecos(x−a)−e(A)f′′(a)=0,f(a)是fx()的极大值。(B)f′′(a)≠0,f(a)是fx()的极小值。(C)f′′(a)=0,(a,f(a))是曲线y=f(x)的拐点。(D)x=a不是fx()的极值点,(a,f(a))也不是曲线y=f(x)的拐点。【解】答案（C）。例2-3设f(x)在[a,b]上一阶可导，在(a,b)内上二阶可导，f(a)=f(b)=0，f′(a)f′(b)>0，则下述选项中错误的为（）。+−(A)f(x)在(a,b)内有零点.(B)f(x)在
4、(a,b)内恰有一个零点.(C)f′(x)在(a,b)内有零点.(D)f′′(x)在(a,b)内有零点.【证】答案：(B)。例2-4己知f()x在(,0+∞)内可导，f(x)>0,11⎛f(x+hx)⎞hlimf()x=1,且有lim⎜⎟=ex，求y=f(x)。x→+∞h→0⎜⎝f()x⎟⎠1−【解】C=,1f()x=ex。例2-5设δ>0，f(x)在[−δ,δ]上有定义，f(0)=1,且满足清华大学刘坤林水木艾迪网址:www.tsinghuatutor.com清华大学东门外创业大厦100612
5、006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433____________________________________________________________________________________________ln(1−x)+xf(x)lim=0,则()。2x→0xe−11(A)f(x)在x=0处可微，且f′)0(=。(B)f(x)在x=0处连续，但不可微。2(C)f(x)在x=0处可微，且f′)0(=0。(D)f(x)
6、在x=0处不连续。【解】答案为(A)。方法1:泰勒公式+运算法则;方法2：运算法则注意错误做法：ln(1−x)+xf(x)−x+xf(x)f(x)−1lim=lim=lim=0=f′)0(x→0x2x→0x2x→0x例2-6若f(x)，在(−)1,1内可微，且f′)0(=,0f′′)0(=A存在，求极限f(x)−f(ln(1+x))lim。3x→0x【解】本题考点：微分中值定理，泰勒公式，导数定义，夹逼定理，极限运算准则及复合函数极限准则f(x)−f(ln(1+x))11lim=f′′)0(=A
7、x→0x322注：若将f(x)与f(ln(1+x))在x=0直接展开,则只用到了f′0(),f′′)0(的存在性,故得不到结论。11+ex例2-7设f(x)=，则存在δ>0，使得（）。22+3ex(A)x=0是f(x)的可去间断点，f(x)在(−δ)0,∪,0(δ)内有界。(B)x=0是f(x)的第一类间断点，f(x)在(−δ)0,∪,0(δ)内有界。(C)x=0是f(x)的第二间类断点，f(x)在(−δ)0,∪,0(δ)内有界。(D)f(x)在(−δ)0,∪,0(δ)内无界。【解】答案为(B)
8、。例2-8设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且f(a)=f(b),f′(a)>0，证明+(1)存在x∈(a,b)，使得f′(x)=0。00(2)存在ξ∈(a,b)，使得f′′(ξ)<0。【证】略。例2-9设fx()在x=a的某邻域内连续,且fa()为其极大值,则存在δ>0,清华大学刘坤林水木艾迪网址:www.tsinghuatutor.com清华大学东门外创业大厦100622006年水木艾迪考研辅导班考研数学三十六技教务电话：62701055网管电话：62780661-433
