数学分析不定积分概念与基本积分公式

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1、第八章不定积分8.1不定积分的概念与基本积分公式8.2换元积分法与分部积分法8.3几类特殊函数的不定积分8.1不定积分的概念和基本积分公式一原函数和不定积分二基本积分公式表三不定积分的线性运算法则例定义1：一、原函数与不定积分的概念原函数存在定理：简言之：连续函数一定有原函数.问题：(1)原函数是否唯一？例（为任意常数）(2)若不唯一它们之间有什么联系？定理8.1关于原函数的说明：（1）若，则对于任意常数，（2）若和都是的原函数，则（为任意常数）证（为任意常数）定理8.2根据定义，如果F(x)是f(x)的一个原函数，则其中C是任意常数，称为积分常数。二、不定积

2、分定义2函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分，任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量不定积分的相关名称：———叫做积分号，f(x)——叫做被积函数，f(x)dx—叫做被积表达式，x———叫做积分变量。例例例解：求微分与求积分的互逆关系-1O1xyy=x2函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线。C1y=x2+C1C2y=x2+C2C3y=x2+C3函数f(x)的积分曲线也有无限多条。函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲线的斜率。三、不定积分的几何意义例求过点(1,3)，且其切线斜率为2x的曲线方程。解：设

3、所求的曲线方程为yf(x)，则yf(x)2x，即f(x)是2x的一个原函数。因为所求曲线通过点(1,3)，故31C，C2。于是所求曲线方程为yx22。-2-1O12x-2-112yyx2+2yx2(1,3)．所以y=f(x)x2C。实例启示能否根据求导公式得出积分公式？结论既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式.四、基本积分公式基本积分表是常数);说明：简写为例求积分解根据积分公式（2）例例例证等式成立.（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）五、不定积分的性质定理3若函数与在区间存在原函数，为两个任意常数

4、，则也存在原函数，且上都例1,则例2例3例4例5例例例例例例例例例例求积分解说明：以上几例中的被积函数都需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.基本积分表(1)不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系小结作业：P181：1,2,3,4,5(1)~(16).思考题符号函数在内是否存在原函数？为什么？思考题解答不存在.假设有原函数故假设错误所以在内不存在原函数.结论每一个含有第一类间断点的函数都没有原函数.