高中数学必修2教案圆的一般方程

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1、-圆的一般方程三维目标：知识与技能：(1)在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径．掌握方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件．(2)能通过配方等手段，把圆的一般方程化为圆的标准方程．能用待定系数法求圆的方程。(3):培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。过程与方法：通过对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0表示圆的条件的探究，培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力。情感态度价值观：渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。教学重点：圆的一般方

2、程的代数特征，一般方程与标准方程间的互化，根据已知条件确定方程中的系数，D、E、F．教学难点：对圆的一般方程的认识、掌握和运用王新敞教具：多媒体、实物投影仪王新敞教学过程：课题引入：问题：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程。利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，得用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其它的解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式——圆的一般方程。探索研究：请同学们写出圆的标准方程：(x－a)2＋(y－b)2=r2，圆心(a，b)，半径r．把圆的标准方程展开，并整理：x2

3、＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0．----取D2a,E2b,Fa2b2r2得--x2y2DxEyF0①这个方程是圆的方程．反过来给出一个形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲线一定是圆吗？把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得D2(yE2D2E24F)这个方程是不(x))4②(配方过程由学生去完成22是表示圆？(1)当D2＋E2－4F＞0时，方程②表示（1）当D2E24F0时，表示以（-D，2-E）为圆心,1D2E24F为半径的圆；22（2）当D2E24F0时，方程只有实数解xD，yE，即只表示一个22点（-D，-E）;

4、22（3）当D2E24F0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形王新敞综上所述，方程x2y2DxEyF0表示的曲线不一定是圆王新敞只有当D2E24F0时，它表示的曲线才是圆，我们把形如x2y2DxEyF0224的表示圆的方程称为圆的一般方程王新敞x1y我们来看圆的一般方程的特点：(启发学生归纳)22(1)①x和y的系数相同，不等于0．②没有xy这样的二次项．--(2)圆的一般方程中有三个特定的系数D、E、F，因之只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．(3)、与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心

5、坐标与半径大小，几何特征较明显。--知识应用与解题研究：--例1：判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心及半径。14x24y24x12y9024x24y24x12y110学生自己分析探求解决途径：①、用配方法将其变形化成圆的标准形式。②、运用圆的一般方程的判断方法求解。但是，要注意对于14x24y24x12y90来说，这里的D1,E3,F9而不是D=-4,E=12,F=9.4例2：求过三点A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。分析：据已知条件，很难直接写出圆的标准方程，而圆的一般方

6、程则需确定三个系数，而条件恰给出三点坐标，不妨试着先写出圆的一般方程王新敞解：设所求的圆的方程为：x2y2DxEyF0∵A(0,0),B(11，）,C(4,2)在圆上，所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标代入上面的方程，可以得到关于D,E,F的三元一次方程组，F0即DEF204D2EF200解此方程组，可得：D8,E6,F0王新敞∴所求圆的方程为：x2y28x6y0王新敞r1D2E24F5；D4,F3王新敞222得圆心坐标为（4，-3）.或将xy28x6y0左边配方化为圆的标准方程，(x4)2(y3)225,从--2而求出圆的半径r5，圆心坐标

7、为(4,-3)王新敞学生讨论交流，归纳得出使用待定系数法的一般步骤：①、根据提议，选择标准方程或一般方程；②、根据条件列出关于a、b、r或D、E、F的方程组；③、解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程。例3、已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆上x12y24运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。--分析：如图点A运动引起点M运动，而点A在已知圆上运动，点A的坐标满足方程2y24。建立点M与点A坐标之间的关系，就可以建立点M的坐标满足的条x1件，求出点M的轨迹方程。解：设点M的坐标是（x,y）,点A的坐标是x0,y0.由于点

8、B的坐标是4，3且M是线段AB的重点，所以--xx04,yy03,22①于是有x02x4,y02y3因为点A在圆x2y24上运动，所以点