2012广东省高考理科数学试题答案解析

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1、2012年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)【详解人】佛山市南海区石门中学黄伟亮smzxhwl@126.com参考公式:柱体的体积公式,其中为柱体的底面积,为柱体的高.圆锥的体积公式,其中为锥体的底面积,为锥体的高.一、选择题1.(复数)设为虚数单位,则复数()A.B.C.D.解析:D..2.(集合)设集合,,则()A.B.C.D.解析:C..3.(向量)若向量,,则()A.B.C.D.解析:A..4.(函数)下列函数中,在区间上为增函数的是()A.B.C.D.解析:A.在上是增函数.5.已知变量、满足约束条件,则的最大值为()A.12B.11

2、C.3D.解析:B.画出可行域,可知当代表直线过点时,取到最大值.联立,解得,所以的最大值为11.6.(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为()A.B.C.D.解析:C.该几何体下部分是半径为3,高为5的圆柱,体积为,上部分是半径为3,高为4的圆锥,体积为,所以体积为.7.(概率)从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个,其个位数为0的概率是()xkb1.comA.B.C.D.解析:D.两位数共有90个,其中个位数与十位数之和为奇数的两位数有45个,个位数为0的有5个,所以概率为.8.对任意两个非零的平面向量和,定义,若平面向量、满足,与的夹角

3、,且和都在集合中,则()A.B.1C.D.解析:C.,,两式相乘,可得.因为,所以、都是正整数,于是,即,所以.而,所以,,于是.二、填空题(一)必做题(9—13题)9.(不等式)不等式的解集为__________________.解析:.的几何意义是到的距离与到0的距离的差,画出数轴,先找出临界“的解为”,然后可得解集为.10.(二项式定理)的展开式中的系数为_________.(用数字作答)解析:20.的展开式通项为,令,解得,所以的展开式中的系数为.11.(数列)已知递增的等差数列满足,,则______________.解析:.设公差为(),则有,解得,

4、所以.12.曲线在点处的切线方程为___________________.解析:.,所以切线方程为,即.13.(算法)执行如图2所示的程序框图,若输入的值为8,则输出的值为______.www.xkb1.com解析:8.第一次循环,,,;第二次循环,,,;第三次循环,,,.此时退出循环,输出的值为8.(二)选做题(14—15题)14.(坐标系与参数方程)在平面直角坐标系中,曲线和的参数方程分别为(为参数)和(为参数),则曲线与的交点坐标为________.解析:.法1:曲线的普通方程是(),曲线的普通方程是,联立解得,所以交点坐标为.法2:联立,可得,即,解得

5、或(舍去),所以,交点坐标为.15.(几何证明选讲)如图3,圆的半径为1,、、是圆周上的三点,满足,过点作圆的切线与的延长线交于点,则__________.解析:.连接,则,,因为,所以.三、解答题16.(三角函数)(本小题满分12分)已知函数(其中)的最小正周期为.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)设、,,,求的值.解析:(Ⅰ),所以.(Ⅱ),所以.,所以.因为、,所以,,所以.17.(概率统计)(本小题满分13分)某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示,其中成绩分组区间是:、、、、、.(Ⅰ)求图中的值;(Ⅱ)从成绩不低于80分的学生中随机选取2人,该2

6、人中成绩在90分以上(含90分)的人数记为,求的数学期望.解析:(Ⅰ)由,解得.(Ⅱ)分数在、的人数分别是人、人.所以的取值为0、1、2.,,,所以的数学期望是.18.(立体几何)(本小题满分13分)如图5所示,在四棱锥中,底面为矩形,平面,点在线段上,平面.(Ⅰ)证明:平面;(Ⅱ)若,,求二面角的正切值.解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.法1:以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,

7、令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.19.设数列的前项和为,满足,,且、、成等差数列.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求数列的通项公式;(Ⅲ)证明:对一切正整数,有.解析:(Ⅰ)由,解得.(Ⅱ)由可得(),两式相减,可得,即,即,所以数列()是一个以为首项,3为公比的等比数列.由可得,,所以,即(),当时,,也满足该式子,所以数列的通项公式是.(Ⅲ)因为,所

8、以,所以,于是.点评:上述证法实质上是

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