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1、Email:yc517922@126.com图论及其应用任课教师：杨春数学科学学院1第六章平面图主要内容一、平面图概念与性质二、特殊平面图与平面图的对偶图三、平面图的判定与涉及平面性不变量教学时数安排8学时讲授本章内容四、平面性算法2本次课主要内容(一)、平面图的概念(二)、平面图性质平面图概念与性质(三)、图的嵌入性问题简介(四)、凸多面体与平面图3图的平面性问题是图论典型问题之一。生活中许多问题都与该问题有关。(一)、平面图的概念例子1：电路板设计问题在电路板设计时，需要考虑的问题之一是连接电路元件间的导线间不能交叉。否则，
2、当绝缘层破损时，会出现短路故障。显然，电路板可以模型为一个图，“要求电路元件间连接导线互不交叉”，对应于“要求图中的边不能相互交叉”。4例子2：空调管道的设计某娱乐中心有6个景点，位置分布如下图。A1A4A5A3A2A6分析者认为：(1)A1与A4,(2)A2与A5,(3)A3与A6间人流较少，其它景点之间人流量大，必须投资铺设空调管道，但要求空调管道间不能交叉。如何设计？5如果把每个景点分别模型为一个点，景点间连线，当且仅当两景点间要铺设空调管道。那么，上面问题直接对应的图为：A6A5A4A3A2A1于是，问题转化为：能否把上
3、图画在平面上，使得边不会相互交叉？6通过尝试，可以把上图画为：于是，铺设方案为：A6A5A4A3A2A1A1A4A5A3A2A67问题：要求把3种公用设施(煤气，水和电)分别用煤气管道、水管和电线连接到3间房子里，要求任何一根线或管道不与另外的线或管道相交，能否办到？例子3：3间房子和3种设施问题上面问题可以模型为如下偶图：H3H2H1EWG问题转化为，能否把上面偶图画在平面上，使得边与边之间不会交叉？8上面的例子都涉及同一个图论问题：能否把一个图画在平面上，使得边与边之间没有交叉？针对这一问题，我们引入如下概念定义1如果能把图
4、G画在平面上，使得除顶点外，边与边之间没有交叉，称G可以嵌入平面，或称G是可平面图。可平面图G的边不交叉的一种画法，称为G的一种平面嵌入，G的平面嵌入表示的图称为平面图。H3H2H1EWG图GH3H2H1EWG图G的平面嵌入9注:(1)可平面图概念和平面图概念有时可以等同看待；(2)图的平面性问题主要涉及如下几个方面：1)平面图的性质；2)平面图的判定；3)平面嵌入方法(平面性算法);4）涉及图的平面性问题的拓扑不变量。由图的平面性问题研究引申出图的一般嵌入性问题的研究，形成了拓扑图论的主要内容。我国数学家吴文俊、刘彦佩等在该方
5、向都有重要结果。刘彦佩的专著是《图的上可嵌入性理论》(1994)，化学工业出版社出版。历史上，波兰数学家库拉托斯基、美国数学家惠特尼、生于英国的加拿大数学家托特，我国数学家吴文俊等都在拓扑图论中有过精湛的研究。10(二)、平面图性质定义2(1)一个平面图G把平面分成若干连通片，这些连通片称为G的区域，或G的一个面。G的面组成的集合用Φ表示。在上图G中，共有4个面。其中f4是外部面，其余是内部面。Φ=｛f1,f2,f3,f4｝。平面图Gf1f3f2f4(2)面积有限的区域称为平面图G的内部面，否则称为G的外部面。11(3)在G中，
6、顶点和边都与某个给定区域关联的子图，称为该面的边界。某面f的边界中含有的边数(割边计算2次)称为该面f的次数,记为deg(f)。平面图Gf1f3f2f4在上图中，红色边在G中的导出子图为面f3的边界。1、平面图的次数公式12定理1设G=(n,m)是平面图，则：证明：对G的任意一条边e,如果e是某面割边，那么由面的次数定义，该边给G的总次数贡献2次；如果e不是割边，那么，它必然是两个面的公共边，因此，由面的次数定义，它也给总次数贡献2次。于是有：2、平面图的欧拉公式13定理2(欧拉公式)设G=(n,m)是连通平面图，ф是G的面数，
7、则：证明：情形1，如果G是树，那么m=n-1,ф=1。在这种情况下，容易验证，定理中的恒等式是成立的。情形2，G不是树的连通平面图。假设在这种情形下，欧拉恒等式不成立。则存在一个含有最少边数的连通平面图G,使得它不满足欧拉恒等式。设这个最少边数连通平面图G=(n,m),面数为ф，则：14因为G不是树，所以存在非割边e。显然，G-e是连通平面图，边数为m-1,顶点数为n,面数为ф-1。由最少性假设，G-e满足欧拉等式：化简得：这是一个矛盾。注：该定理可以采用对面数ф作数学归纳证明。3、欧拉公式的几个有趣推论15推论1设G是具有ф个
8、面k个连通分支的平面图，则：证明：对第i(1≦i≦k)个分支来说，设顶点数为ni，边数为mi，面数为фi,由欧拉公式：所以，16而：所以得：推论2设G是具有n个点m条边ф个面的连通平面图，如果对G的每个面f,有：deg(f)≥l≥3,则：17证明：一方面，由次数
