数学审题的案例分析

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1、第7期罗增儒:数学审题的案例分析·1·数学审题的案例分析●罗增儒(陕西师范大学数学与信息科学学院陕西西安710062)审题就是从题目本身去寻找“怎样解这道题”1案例1:相交弦中点的轨迹方程的钥匙，也叫做弄清问题或理解题意．例1已知a，b不同时为0，a，b，c成等差数成在审题、败在审题，谁都知道审题具有“事2x列，求直线bx+ay+c=0与抛物线y=－相交关成败”的重要性，没有审题的开头就没有解题工2作的后续，没有审题的明晰就难有“思路探求”的弦中点的轨迹方程．成功．但是，笔者在与学生接触的过程中越来越感这是一道轨迹方程与等差数列交叉的综合题，到，学生在解题上的不

2、成功常常可以追溯到“题意常规思路是联立方程组求交点，写出中点，消参得未审清或审不清”的解题起点上，行动是盲目的．轨迹．关键是“等差数列”的条件如何用?这是一那么，怎样才算审清题意?教师什么时候教过学生个认识逐渐深化的过程，分2步讲解．“审什么、怎么审”呢?这恐怕又是一笔糊涂账!1．1题意的初步理解课堂上常见的情况是:出示题目之后立即就讨论解(1)题目的条件是什么，一共有几个，其数学法，获得解法之后就迅速进入下一道题．其实，学生含义如何．在“如何理解题意、怎样寻找思路”上是“想知道很初步理解条件有以下4个．多而又有很多不知道”，至于“对初步思路的反条件1“a，b不

3、同时为0”．这既可以保证等思”，则十有八九都被“解题教学的现实”给砍掉差数列a，b，c不全为0，又可以保证bx+ay+c=0了．为直线．笔者认为，审题主要是弄清题目已经告诉了你条件2“a，b，c成等差数列”．文字语言“等什么，又需要你去做什么，从题目本身获取“怎样差数列”不能运算、难以推理，需要进行“数学含解这道题”的逻辑起点、推理目标以及沟通起点与义”的解读，可以有多种表征，如:目标之间联系的更多信息．解题经验表明，审题的b－a=c－b，a+c=2b，a－b+c=0，关键是要抓好“审题审什么”的3个要点和“审题b=a+d;a=b+d;［1-2］{，{，怎么审”

4、的4个步骤．c=a+2dc=b－d(1)“审题审什么”的3个要点是:等．这些形式哪个更适合本题暂时还不清楚，但理①弄清题目的条件是什么，一共有几个，其数解题意阶段要广泛收集．学含义如何;条件3“直线bx+ay+c=0”．因为a，b，c不②弄清题目的结论是什么，一共有几个，其数是具体的数字，所以，这其实是一条动直线，受“a，学含义如何;b，c成等差数列”的制约，怎样使用这个制约条件③弄清题目的条件与结论有哪些数学联系，是暂时还不清楚(或说直线是怎么动的还不清楚)，一种什么样的结构．可以认为，此处还有一个隐含条件，需要在思路探(2)“审题怎么审”的4个步骤是:求和结

5、果反思中才容易发现．①读题———弄清字面含义;2x条件4“抛物线y=－”，并且抛物线与动②理解———弄清数学含义;2③表征———识别题目类型;直线相交．“相交”是文字语言，不能运算、难以推④深化———接近深层结构．理，它的一个“数学含义”是方程组题目的条件和结论是“怎样解这道题”的2个bx+ay+c=0信息源，审题的实质是从题目本身去获取从何处下2x{y=－手、向何方前进的信息与启示．下面通过2个典型2案例来作说明．有2个不相等的实数解．·2·中学教研(数学)2012年(2)题目的结论是什么，一共有几个，其数学a±槡a2+8bcy1，2=．含义如何．4b题目的结

6、论是求直线与抛物线相交弦中点的把2b=a+c代入，消去b，得轨迹方程F(x，y)=0．这包含着2个方面:a±槡a2+4(a+c)ca±(a+2c)y1，2==，必要性相交弦中点的坐标(x，y)是轨迹方2(a+c)2(a+c)程F(x，y)=0上的一个解．c得y1=1，y2=－．充分性轨迹方程F(x，y)=0上的每一个解a+c2都是相交弦中点的坐标(x，y)．代入抛物线方程x=－2y，得2(3)题目的条件与结论有哪些数学联系，是一cx1=－2，x2=－2(a+c)．种什么样的结构．设相交弦中点的坐标为(x，y)，则(消去了当初的理解题目的条件和结论，可以看到一个已

7、知轨y)迹方程(抛物线)经过某种运动变化之后(与动直x+x2线相交产生相交弦的中点)形成一个新轨迹方程．x=12=－1－(c);2a+c于是，在眼前就出现这样一个“轨迹转移”的数学结构:通过解方程(组)沟通新旧轨迹(点)的联系，{y=y1+y2=1－1(c)，222a+c消去参数a，b，c得出新轨迹．c至于如何建立和求解方程，怎样消参等，则是消去(即消去a，c)，得相交弦中点的轨迹方程a+c“思路探求”和“书写解答”的任务了．为思路1联立方程211bx+ay+c=0;(y－2)=－4(x+1)．{y2=－x，1．2题意的深入理解2对思路1、思路2陆续消去x，y，

8、a，b，c的过程2把x=