论小于n的质数的个数

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1、UeberdieAnzahlderPrimzahlenuntereinergegebenenGrösse译文论不大于给定数量的素数个数[MonatsberichtederBerlinerAkademie,November1859]柏林科学院月度报告首先我感谢科学院以通讯的方式接受这篇文章，我想关于我的素数密度的研究经通讯已及时地被接受，由此很好地被确认。Gauss和Dirichlet很早就做出了这个吸引力的猜想，因此这篇通讯应该不是完全没价值的。作为这个研究的起点，我先回忆Euler已做过的一个考察，即其中p过全体素数，n过全体（正）整数。如此表达的复变量s的函数，我约

2、定记它为ζ(s)。现在做两个约定，s的实部是大于1的；允许我们做出此函数其它的有效表达式。运用等式我们得到现在我们考虑积分变量展布在从+∞到正意义的+∞的一个区域内，在此区域中，被积函数可以取到0值，而没有其它不连续值，于是此式等于在多值函数中-x的对数是这样确定的，即它取x为负实数。这样我们有此积分由上面给出意义。这些公式使得ζ(s)成为以任意复数s为变量的函数。而且它们表明除去1以外，对于所有有限值s，它是单值有限的。同时，若s为一个负偶数，函数值为零。如果s的实部是负的，此积分可以由在已给的积分区域附近的正意义，改为展布在其他复域里变为负意义，而且随着积分变量的模

3、变为无穷大，积分值为无穷小。在这些区域里被积函数仅在x等于的整数倍时不连续，而且这个积分等于在那些附近为负意义的积分的和。这个积分在n2πi附近是，我们由此获得同样我们获得一个ζ(s)与ζ(1-s)之间的关系。为此我们利用已知的Π函数的性质，于是若替换s为1-s。表达式不变。这些函数性质使我把级数的一般项乘以换成为乘以，这样我们得到了一个十分适合的表达。事实上我们有，于是，若我们设，，或者因为，（Jacobi,Fund.184页）*)Jacobi全集卷I，235页)现在我设即或此函数对所有有限值t都是有限的，而且对于tt的幂级数展开收敛十分迅速。对一个实部大于1的值s，

4、是有限的，因为对的其他因子的对数也都是有限的，所以函数零点的虚部只能在和之间，当t的实部在0到T之间时，的根的数量大约为因此，若t的虚部在和之间，实部在0到T之间展布，积分有正意义，等于（精确到阶）；这个积分值也等于在此区域内的根数乘以。事实上我们发现在这个范围内函数有很多实根，而且它所有的根都是实的这个猜想非常像是正确的。因此我们希望有个严格的证明；我在做了一些无效的努力后把它放在了一边，因为它对我的研究的直接目标是不必要的。我们用表示方程的任意一个根，于是我们可以把表示成。因为其根的密度随着t的增加有倍的增长，所以这个表达式收敛，而且随着t的增加，只有阶的无穷大；上

5、面的表达式与的差别在于一个的函数，此函数对于有限的t连续且有限，而且它除以后得到的函数随着t趋于无穷大而趋于无穷小。于是这个差是个常数，它的值可以由来确定。现在我们就用这些辅助结果来确定小于x的素数个数。设为一个函数，它的定义是：当x不恰好是素数时，它等于小于x素数个数，若x是一个素数，则取比这个数大。于是当对于某个x，有跃值变化时现在我们设经，经表示于是我们有其中我们用f(x)来表示这个等式是对s的任意复值a+bi都是有效的。在这个假设下，考虑如下等式应用Fourier定理，我们可以用函数g来表示函数h。若h(x)是实函数且设则上面的等式分解为以下两部分我们将上面两个

6、等式都与相乘，并且从积分至，于是我们应用Fourier定理于两个等式的右侧，都得到，若我们将这两个等式相加并乘以，则这里的积分是这样进行的，即取s的实部为任意常数。当y值为使得h(y)有跃值的时，这个积分等于函数在在此跃值两侧的平均数。按照上述确定方法，因为函数f(x)拥有这些性质，于是一般地我们有现在我们要用下面导出的基本表达式来代替但由于积分这个表达式的单一项在无穷远处是不收敛的。因此需将等式做分部积分化成合适的形式因为其中，所以用公式我们可以把f(x)表达式中所有的项统一表达成如下形式现在因为有而且，若s的实部大于β的实部或分别对应β的实部是负数还是正数。于是我们

7、有常数，在第一种情况或常数，在第二种情况在第一种情况下，我们令β的实部为负无穷大来确定积分常数；在第二种情况下，所得到从0到x的积分会有2πi的差别，这要看积分是经正的幅角还是负的幅角进行的，但无论采取哪种方式，若对于前者β的虚部i的系数趋向正无穷，对于后者β的虚部i的系数趋向负无穷时，积分值为无穷小。由此得出，左侧式子中的意义是确定的，而且积分常数可以略去。用此方法我们得到f(x)的表达式式中里的α取方程的全体实根（或全体拥有正实部的根），设它们已按照顺序排好。用一个关于函数ξ更精确的讨论，当所有项都按照上面规定的排好后，容易证明级数与