简谐振动和机械波

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1、简谐振动和机械波1．简谐振动的特征及其表式质量为m的物体系于一端固定的轻弹簧(弹簧的质量相对于物体来说可以忽略不计)的自由端，这样的弹簧和物体系统就称为弹簧振子．如将弹簧振子水平放置，当弹簧为原长时，物体所受的合力为零，处于平衡状态，此时物体所在的位置就是平衡位置，如果把物体略加移动后释放，这时由于弹簧被拉长或被压缩，便有指向平衡位置的弹性力作用在物体上，迫使物体返回平衡位置．这样，在弹性力的作用下，物体就在其平衡位置附近作往复运动(图1)．取物体的平衡位置为坐标原点，物体的运动轨道为x轴，向右为正向．在小幅度振动情况，按照胡克定律，物体所受的弹性大F与弹簧的伸长即物体相对平衡位置的位移

2、x成正比，即F＝一kx式中k是弹簧的劲度系数，负号表示力和位移的方向相反根据牛顿第二定律，物体的加速度为dx/dt=F/m=–kx/m对于一个给定的弹簧振子，k和m都是正值常量，我们取k/m=ω(1)代人上式得dx/dt=-ωx(2)或dx/dt+ωx=0(3)这一微分方程的解为x=Acos(ωt+Ф)(4)因为cos(ωt+Ф)=sin(ωt+Ф+π/2),可令Ф=Ф+π/2,于是有x=Asin(ωt+Ф)(5)也是微分方程(2)的解,式中A和Ф(或Ф)为积分常数,由上可见，弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦(或正弦)函数关系随时间变化，所作的正是简谐振动．由弹簧振子的振动可

3、知，如果物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比、而方向相反，那么，该物体的运动就是简谐振动．这种性质的力称为线性回复力．这是物体作简谐振动的动力学特征，式(3)就叫做简谐振动的运动方程，这种形式的运动微分方程也就是简谐振动的特征式．从式(2)还可以看出，作简谐振动物体的加速度大小总是与其位移大小成正比、而方向相反，这一结论通常作为简谐振动的运动学特征．式(4)常称为简谐振动表式．简谐振动表式也可以用指数形式表示,x=Ae(6)式(4)和(5)实际上就是上式的实数部分和虚数部分，用复指数形式表示振动大，其优点是运算比较方便．应该指出，在上述弹簧振于的例子中，如果振动幅度过大，

4、回复力不再遭从胡克定律，回复力(或加速度)与位移就没有简单的线性正比关系，显然，这时弹簧扳子的运动将不是筒谐振动。根据速度和加速度的定义，我们可以得到物体作简谐振动时的速度和加速度：v=dx/dt=-ωAsin(ωt+Ф)=-vsin(ωt+Ф)(7)α=dx/dt=-ωAcos(ωt+Ф)=-αcos(ωt+Ф)(8)式中v=ωA和α＝ωA称为速度幅值和加速度幅值．由此可见，物体作简谐振动时，其速度和加速度也随时间作周期性的变化．图2画出了简谐振动的位移、速度、加速度与时间的关系.如果在振动的起始时刻，即在t＝o时，物体的初位移为x、初速度为v，代人式(4)和(7)．得x=AcosФv

5、=-ωAsinФ(9)由此两式可求得两个积分常数A=Ф=arctg(-v/ωx)(10)振动物体在t＝o时的位移x和速度v常称为振动的初始条件，由初始条件可以确定简谐振动表式的两个积分常数．因为在o和2π之间有两个Ф值的正切函数值相同，所以由式(10)得到的Ф值．还须代回式(9)中以判定取舍．图2在弹性体内部，怎样才能产生机械波呢?一般把弹性体称为弹性介质．在弹性介质中，各质点间是以弹性力互相联系着的．如果介质中有一个质点A，因受外界扰动而离开其平衔位置，A点周围的质点就将对A作用—个弹性力以对抗这一扰动，使A回到平衡位置，并在平衡位置附近作振动。与此同时，当A偏离其平衡位置时，A点周围

6、的质点也受到A所作用的弹性力，于是周围质点也离开各自的平衡位置，并使周围质点对其邻接的外因质点作用弹性力，从而由近及远地使周围质点、外围质点以及更外围的质点，都在弹性力的作用下陆续振动起来。这就是说，介质中一个质点的振动引起邻近质点的振动，邻近质点的振动又引起较远质点的振动，于是振动就以一定的速度由近及远地向各个方向传播出去，形成波动．由此可见，机械波的产中，首先要有作机械振动的物体，亦即波源；其次要有能够传播这种机械振动的介质．只有通过介质质点间的相互作用，才可能把机械振动向外传播、声带、乐器、电话机的膜片等都是波源，而空气则是传播振动的介质．波动只是振动状态的传播，介质中各质点并不随

7、波前进，各质点只以周期性变化的振动速度在各自的平衡位置附近振动．振动状态的传播速度称为波速．应该注意区别波速与质点的振动速度，不要把两者混淆起来．质点的振动方向和波动的传播方向并不一定相同．图3绳索上的横波如果在波动中，质点的振动方向和波的传播方向相互垂直，这种波称为横波。例如图3中所示．绳的一端固定，另一端捏在手中并不停地上下抖动，使手拉的一端作垂直于绳索的振动，我们就可以看到一个接一个的波形沿着绳索向固定端传播，形成绳索上的横波