辅助资料C数控机床闭环进给伺服系统运动误差的研究

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1、补充内容：数控机床闭环进给伺服系统轮廓误差分析1．闭环位置控制的数学模型典型X轴位置闭环控制简化数学模型如图1所示。图1简化位置闭环控制数学模型其中，Kp为控制器内部的软件位置增益，可用于调整系统位置环的开环增益；Kda（V/P）为数模转换系数；Ke（P/R）为位置编码器的脉冲数；Kn（V/RPM）为速度反馈系数；Ks为速度调节器增益；Kb（V/RPM）为反电势常数；Ra（Ω）为电枢回路电阻；Kq（Nm/A）为电机力矩常数；J（Kg•m2）为转动惯量。速度闭环控制模型可简化为：其中Km为每伏电压对应电机转速τ为时间常数位置闭环控制的开环增益。当不考虑速度闭环

2、控制模型时间常数τ时，位置控制开环传递函数为，其闭环传递函数为如下一阶模型：(1)其中当考虑速度闭环控制模型时间常数τ时，位置控制开环传递函数为，其闭环传递函数为二阶模型：(2)9其中在数控系统中X、Y轴通常具有同样的上述位置闭环控制数学模型，因此由X、Y两轴独立位置闭环控制组成的系统如图2所示。图2两轴闭环位置系统其中Xi、X分别是X轴的输入输出，Yi、Y分别是Y轴的输入输出，下面模型参数以下标x或y区分其为X或Y轴参数。2．直线插补运动的轮廓误差图1所示闭环系统的误差传递函数：(3)直线插补时，根据拉氏变换终值定理(4)当进行XY轴直线联动插补时，对应X

3、、Y轴的指令为斜坡输入，即由式4，对一阶模型和二阶模型，其稳态误差均为设运动直线如图3所示，与X轴的夹角为θ，合成进给速度为V，则有运动轮廓误差为(5)图3直线运动的轮廓误差9由式5可知（1）当，即两轴增益相等（既）时，两轴跟随误差的滞后效应抵消，稳态轮廓误差为零，Jx、Jy的不匹配对稳态轮廓误差没有影响；（2）当sin(2θ)=0，即θ=0或90º时，则E=0，这具有明显的物理意义；（3）实际系统中很难保证、完全相等，可以看出，只要、足够大，轮廓误差就会很小，因此尽可能选择较高的增益或使两轴增益尽可能一致均可减小轮廓误差；（4）轮廓误差与运动速度成正比；3

4、．圆弧插补运动的轮廓误差圆弧插补运动的轮廓误差主要包括伺服系统有限带宽引起的圆弧半径误差和运动轴性能不匹配引起的椭圆误差。考虑沿半径为R的圆弧进行角速度为ω的运动，圆心坐标为（0，0），X、Y轴的指令输入及初始条件为且，；且，。稳态输出为(6)(7)这里、为输出幅值，、为滞后相位。由式6、式7得(8)(9)且输出轨迹为下列方程(10)对一般二次曲线方程有(11)将坐标系oxy绕原点o旋转角度θ到新坐标系o'x'y'，则有(12)将式2.12代入2.11得(13)其中：9由式13可以看出如下规律：（1）式13方程二次项系数仅与原方程二次项系数及旋转角θ有关，与

5、一次项系数和常数无关。（2）式13方程一次项系数仅与原方程一次项系数及旋转角θ有关，与二次项系数和常数无关。（3）当原方程一次项系数不为零时，通过坐标轴旋转不能完全消除一次项系数；同样当原方程一次项系数为零时，坐标轴旋转后一次项仍为零。（4）坐标轴旋转后方程的常数项不变。（5）当时，通过坐标轴旋转可消除交叉乘积项。既当时(14)对照式10、式11，当坐标系旋转角度(15)式10变换为标准的椭圆方程。由此可见，一般地说圆弧实际运动的轨迹为以原点为中心，长轴或短轴在角度θ处的椭园。3．1一阶模型圆弧运动误差分析当图2中Gx(s)、Gy(s)为式1所示一阶模型时，

6、沿半径为R的圆弧进行角速度为ω的运动，其稳态输出为(16)(17)当时，且由式10可知此时轨迹方程为圆的半径误差为9(18)可见，当两轴匹配时，实际运动轨迹为圆，其半径总是比指令圆弧半径值小，半径误差随时间常数和进给速度的增大而增大。显然，这是由伺服系统有限带宽引起的圆弧半径误差。3．2二阶模型圆弧运动误差分析当图2中Gx(s)、Gy(s)为式2所示二阶模型时，沿半径为R的圆弧进行角速度为ω的运动，其稳态输出为其中其中当，时，则由式10可知其运动轨迹为圆，其轨迹方程为(19)可见，当两轴匹配时，实际稳态运动轨迹为圆，但显然圆的半径存在误差。图4为两轴匹配且时

7、，对不同的ξ值，随运动角速度ω的变化曲线9图4两轴匹配时随ω的变化曲线当时，二阶系统的谐振频率ωr和谐振峰值Mr分别为因此，圆的轨迹误差是由于幅频特性不等于1引起的。因此当阻尼比较小时，通常情况下圆的运动半径大于指令半径。由于当时，系统不产生谐振。显然，此时圆的半径小于指令半径。通过调整系统增益使得，从而在不产生谐振的条件下，得到更宽的频带。从式19可以看出，当时(20)当时，由于4次幂的作用，实际产生的误差较小。因此使两轴匹配且可取得较小的圆弧运动误差。但在大多数的应用中，很难保证两轴完全匹配。例如在立式数控铣床和加工中心中，X轴的惯性负载通常远大于Y轴，

8、即。在此情况下，通过调整位置增益满足两轴匹配条件需要