信用风险中若干问题分析的数学理论

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1、同济大学数学系博士学位论文信用风险中若干问题分析的数学理论姓名：林建伟申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：姜礼尚20081201摘要摘要本文研究了信用风险中两个重要问题：具有违约观察期公司债券的定价问题和组合信用风险的传染性问题研究。具有违约观察期公司债券的定价问题，即借助于美国破产保护法第十一章，违约公司获得一个额外的违约观察期过程，在观察期期间，公司权益双方，股东和债权人在双方共同商定的谈判规则下，按照纳什均衡原理对于公司的总价值进行重新分配，并赋予股东按股权最大化原理决定公司最佳的违约边界，因此具有违约观察期公司债券的定价问题，本质上是一

2、个最优停时问题，它是一个由公司债券价格，股票价格，公司总价值与违约边界四者适合的方程组组成的自由边界问题。当违约观察期长度为有限，而债券到期日为无限时，虽然公司债券和股票的定价以及违约边界均与时间变量t无关，但是考虑到有限违约观察期长度的约束，当公司处于违约观察期时，公司债券和股票的定价将不仅依赖于公司的资产价格，还依赖于公司在违约观察期里持续运行的时间长度。因此，具有有限违约观察期和无限到期日公司债券定价问题是一个由常微分方程和偏微分方程相耦合组成的方程组的自由边界问题。Francois和Morellec(2004)[21l利用随机分析和概率论方法

3、，对具有有限违约观察期和无限到期日公司债券进行定价，在公司资产价值y高于公司的违约边界％时，获得公司债券和股票价格的显式表达式以及最佳违约边界嵋的解析表达式。但并没有考虑当V<％时，公司债券和股票的定价表达式。本文将在Francois和Morellec(2004)[21】基础上，通过偏微分方程的方法(PDE)和High-Contact原理，建立具有有限违约观察期和无限到期日公司债券的数学模型，它是一个由常微分方程和偏微分方程相耦合组成的方程组的自由边界问题。并通过PDE方法，不但给出V≥％时．与-Francois$[JMoreUec(2004)[21

4、】得到相同的股票和公司债券以及最佳违约边界的定价表达式，同时还获得当V<％时股票与公司债券价格以及给出公司在违约观察期期间债券持有人应该得到的息票收益。同时文章还对公司的最优杠杆，清算概率和信用利差进行定性和定量分析。在对具有有限到期日和有限观察期长度的公司债券定价时，公司的股票和债券的价值将不仅依赖于公司的资产价值y，还依赖于时间变量t，其相应的最同济大学博士学位论文佳违约边界也将是一条随着时间变量t变化的曲线。因此，相应的定价问题是一个抛物型方程组的自由边界问题。Broadie和Kaya(2007)[22]在假定最佳违约边界具有一参数函数形式的假

5、定下，在给定一组违约边界下，应用二叉树方法，给出具有有限到期日和违约观察期的公司债券定价的离散格式，但是并没有对最佳违约边界进行处理。本文将通过最优停时理论，来处理公司最佳违约边界问题，建立具有有限到期日和有限观察期长度的公司债券定价的连续数学模型，它是一个抛物型方程组的自由边界问题，并通过离散的惩罚方法对股票和债券满足的定价问题进行离散计算，获得股票和最佳违约边界的数值解，最后依赖于最佳违约边界的数值解，算出公司债券的数值解。并从数值计算方面，考察最佳违约边界，债券和股票合约对部分参数的依赖关系。然后，本文继续考虑上述具有有限到期日公司债券定价问题

6、的一个相对简化的模型，进一步从理论上对公司的最佳违约边界的存在唯一性，单调性以及在到期日的具体位置进行分析。众所周知，由于公司之间相互经济往来，如供货关系，借贷关系，互相持有等原因，形成了公司之间的商业循环(Businesscycle)，在该循环的环境下，一家公司的违约，将直接导致其它公司的破产或者增大其它公司违约的可能性，由此形成了违约的传染性。在约化框架下，人们通过引入违约强度，建立了n个公司的违约传染模型。Zheng和Jiang(2008)14s]0用总的违约强度构建的方法得到了n个公司违约时间的联合概率密度函数，它是由n!个区域分别定义的表达

7、式组成。当n比较大时，用它来计算信用衍生产品定价几乎是不可行的。因此，Zheng和Jiang(2008)[4s}仅在均匀违约强度模型下，对于一篮子信用违约互换产品进行定价。本文在Zheng和Jiang(2008)㈨基础上，改进均匀违约强度模型(仅包含两个参数)，至考虑母子公司模型(包含五个参数)下，礼维违约时间的联合违约概率函数，并应用于对一篮子信用违约互换合约CDSs进行定价以及对双方互相担保公司债券进行定价研究和对银行之间互相持有次级债券的风险进行分析首先，利用约化方法，在公司的违约强度满足一种非均匀的传染性模型一母子公司模型(Primary．s

8、ubsidiary)下，利用“总的违约强度构建”的方法，获得了相应的违约时间联合的概率密度函数显式表达式。并