射线跟踪技术中物体外形精确建模算法

《射线跟踪技术中物体外形精确建模算法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、第31卷第1期大学数学Vo1．31，№．12015年2月COLLEGEMATHEMATICSFeb．2015射线跟踪技术中物体外形精确建模算法周晓平，柳朝阳(1．郑州大学信息工程学院，郑州450001；2．郑州大学数学与统计学院，郑州450001)[摘要]为了对复杂物体外形进行快速精确建模，利用多面体样条方法进行物体表面的设计及应用研究．通过对样条函数节点进行分类，给出空间中任意拓扑结构网格上样条函数组的具体构造方法．研究曲线曲面控制点与生成样条函数的节点的相互依赖关系，提出在无单位分解条件下构造具有几何不变性曲线曲面的合理化方法．通过构造控制点

2、处多面体样条函数，生成了任意拓扑结构的连续多面体样条曲面．这样的多面体样条曲面在同样性质要求下曲面次数低，只有张量积NURBS曲面的一半；并且与细分曲面相比，所获取的物体外形表面具有坐标计算准确，中间数据较少等优点，可以用于精确构造电磁射线追踪中物体的外形．[关键词]多面体样条；有理函数；任意网格；物体外形；射线跟踪[中图分类号]TP391．72；0241．3[文献标识码]B[文章编号]1672—1454(2015)01—0021—051引言随着移动通信的发展，射线跟踪技术被广泛的应用于室内定位[1]、无线网络规划]、电磁辐射评价口中．对射线跟踪

3、中所遇到形状各异的物体，需要对其外形进行快速精确建模．近几年来，国内外许多学者[4]运用拓扑矩形网格上的NURBS曲面对射线跟踪技术中的物体外形进行建模．多元样条函数曲面是另一种重要的曲面设计方法．用多元箱样条函数可设计一种特定网格上的曲面[6]．细分曲面适宜于任意拓扑网格上的曲面的设计，但是个极限过程的结果，不适宜于精确的坐标计算，因此不适合电磁计算中物体外形快速精确建模．以光滑余因子协调方法为核心的多元样条的代数几何方法，把任意剖分下的多元样条归结为方程组求解．但具体的解却与多元样条依赖的网格结构有关，难以有通用曲面设计方法．包含不同类型的多

4、元样条的多面体条[8]进行曲面设计是计算几何中一个非常重要的课题，有待于进一步研究，寻找突破．本文通过对多面体样条的节点进行分类，构造了控制点处多面体样条，生成了任意拓扑结构的连续多面体样条曲面．这样的曲面次数低，坐标计算准确等，适合电磁计算中物体外形快速精确建模，有必要深入研究其在电磁计算中的应用．2多面体样条2．1单个多面体样条的构造设P是R中以+s一1_维超平面为边界的凸多面体，L为R到R的线性映射，则多元的多面体样条B(z)可定义为B(z)=wl(PnLz)，z∈R，(1)其中S≥1，≥0．若取L—R为+5一维欧氏空间R中向量到其前S一维

5、向量的投影[收稿日期]2014—05—08；[修改日期]2014—11-08[基金项目]河南省重点科技攻关项目(142102210492，1321O221O194)22大学数学第31卷Rs(1，2，⋯，zs，z1，⋯，z)=(z1，lz2，⋯，z)，则由R中的单纯形可定义s元次样条函数B(z)一vol(VnR一z)，z∈R，(2)其中vol表示一维体积，在一1时为长度．常见的样条函数都是多面体样条．图1示出一元一次样条B()的几何构造[6]，图中节点满足：t。

6、P)，并满足引理]多面体样条B(z)是一个分片一次多项式，并在经图1一元一次样条函数的几何构造过其支撑集L(P)的s一1维子区域L(F)上连续阶为C井，其中F为P的任意一个面，而d为L(L(F))的实际维数．引理中连续阶的结论类似于一元样条的重节点处连续阶的问题．由于Lq(L(F))F，而F的维数为S一1，d≥S一1，+s—d一2≤，z一1．多面体样条重节点要求至少有S+1一个节点值在一1一维子区域上．对S一2，等价于3个以上的节点共线．3任意网格上多面体样条算法构造多面体样条函数的凸多面体P有不同的类型时就可以构造出不同的多元样条，如箱样条、锥

7、样条．但这些传统的多元样条都是定义在特定的网格上．在射线追踪技术中，必须对复杂的物体外形进行精确地建模，利用样条函数可以实现此功能，但需要找出在任意网格上构造相互关联的样条组的算法．3．1任意网格上多面体样条组的构造平面网格通常由相互交叉的直线段对平面分割形成，直线段的端点或交点称为节点，两节点间的直线段称为边．如图2所示，平面网格中包含节点t的最小多边形称为节点t的支撑集合，记为supp()．节点t称为supp(￡)的内(节)点．作为多边形supp()顶点的n个节点t(一1，2，⋯，)称为supp()的(边)界(节)点．通过对节点添加分量，构造

8、三维空间中的+1个加长向量点(￡，o)，J一1，2，⋯，和(￡，1)．如图3所示，这+1个点构成了界点围成的平面多边形supp()为底面