空间直线与平面总结知识结构图例题

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1、【同步教育信息】一.本周教学内容：期中复习［知识串讲］空间直线和平面：（一）知识结构（二）平行与垂直关系的论证1、线线、线面、面面平行关系的转化：2.线线、线面、面面垂直关系的转化：3.平行与垂直关系的转化：4.应用以上“转化”的基本思路——“由求证想判定，由已知想性质。”5.唯一性结论：（三）空间中的角与距离1.三类角的定义：（1）异面直线所成的角θ：0°＜θ≤90°（2）直线与平面所成的角：0°≤θ≤90°（3）二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°2.三类角的求法：转化为平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出

2、有关的角；（2）证明其符合定义；（3）指出所求作的角；（4）计算大小。3.空间距离：将空间距离转化为两点间距离——构造三角形，解三角形，求该线段的长。4.点到面的距离，线线间距离、线面间距离、面面间距离都可转化为点到面的距离。常用方法：三垂线法、垂面法、体积法、向量法等。简单几何体：（一）棱柱（两底面平行，侧棱平行的多面体）（二）棱锥（底面是多边形，其余各面是由有一个公共顶点的三角形所围成的多面体）定理：截面与底面平行则有正棱锥的性质概率与统计（一）散型随机变量的分布列性质：二项分布：若则期望：方差：（二）抽样方法【典型例题】例

3、1.如图，在四面体ABCD中作截面EFG，若EG，DC的延长线交于M，FG、BC的延长线交于N，EF、DB的延长线交于P，求证M、N、P三点共线。证明：由已知，显然M、N、P在平面EFG上又M、N、P分别在直线DC、BC、DB上故也在平面BCD上即M、N、P是平面BCD与平面EFG的公共点∴它们必在这两个平面的交线上根据公理2.M、N、P三点共线例2.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1和BB1的中点，那么AM与CM所成角的余弦值为（）分析：如图，取AB中点E，CC1中点F连结B1E、B1F、EF

4、则B1E//AM，B1F//NC∴∠EB1F为AM与CN所成的角又棱长为1∴选D例3.其中正确的两个命题是（）A.①与②B.③与④C.②与④D.①与③分析：∴②错∴④错∴①③正确，选D例4.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//面EDB。（2）PB⊥平面EFD。证：（1）连AC，AC交BD于O，连EO∵底面ABCD是正方形∴点O是AC中点又E为PC中点∴EO//PA∴PA//面EDB（2）∵PD⊥底面ABCD∴BC⊥PD

5、∴BC⊥面PDC∴BC⊥DE又E为等直角三角形中点∴DE⊥面PBC∴DE⊥PB∴PB⊥面DEF例5.正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB1⊥BC1，求证：A1C⊥BC1。证明：设E、E1分别是BC、B1C1的中点，连AE，A1E1，B1E，E1C注：三垂线定理是证明两直线异面垂直的常用手段。例6.下列正方体中，l是一条体对角线，M、N、P分别为其所在棱的中点，如何证明l⊥面MNP。分析：③如图，取棱A1A、DC、B1C1的中点，分别记为E、F、G，显然EMFNGP为平面图形，而D1B与该平面垂直∴l⊥面MNP例7.∠ACB=90

6、°，侧棱与底面成60°的角。分析：证明：又∠ACB=90°，即AC⊥BC∴D为AC中点例8.已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，D、E分别是AB、AC的中点，沿DE将△ABC折成直二面角，使A到A’的位置（如图）。求：（1）C到A’D的距离；（2）D到平面A’BC的距离；（3）A’D与平面A’BC所成角的正弦值。解：（1）∵二面角A’－DE－B是直二面角又A’E⊥ED，CE⊥ED∴ED⊥面A’EC及EC⊥面A’ED作EF⊥A’D于F，连结CF，则CF⊥A’D∴CF即为C点到直线A’D的距离在Rt△A’ED中，E

7、F·A’D=A’E·ED∴DE//面A’BC∴E到面A’BC的距离即为D点到平面A’BC的距离过E作EM⊥A’C于M∵ED⊥面A’EC又BC//ED∴BC⊥面A’EC∴BC⊥EM∴EM⊥面A’BC或者用体积法：例9.（1）证明：（2）解：又取BC中点N，连结NF例10.将一颗骰子连续抛掷两次称为一次试验，如果一次试验中两次抛掷的骰子所出现的点数之和大于9时，则称为这次试验成功。（1）求一次试验成功的概率；（2）在试验成功的所有情况中，以表示两次抛掷的骰子出现的点数和，求的概率分布列及数学期望。解：（1）两次抛掷出现点数之和大于9

8、的有（4，6），（5，5），（5，6），（6，4），（6，5），（6，6）（2）在成功的条件下，ξ=10，11，12【模拟试题】一.选择题1.一条直线若同时平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线（）A.成异面直线B.相交C.平行D.平行或相交2.已知直