2010年考研数学真题解析

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1、名师曹显兵等权威详解2010年考研数学真题（中国人民大学出版社）2010年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题试题分析、详解和评注考研数学专家曹显兵、刘喜波教授亲自解答分析解答所用参考资料：曹显兵（线代、概率部分）与刘喜波（高数部分）的授课讲稿，黄先开、曹显兵与刘喜波主编的参考书：1.《考研数学经典讲义》，简称经典讲义(人大社出版).2.《考研数学最新精选600题》，简称600题.3.《考研数学经典冲刺5套卷》，简称冲刺卷.一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.．．．

2、x2⎡⎤x(1)极限lim⎢⎥=x→∞⎣⎦()xaxb−+()ab−ba−(A)1.(B)e.(C)e.(D)e.【】【答案】应选(C).∞【分析】本题是最基本的未定式“1”，属基本题型.x⎛⎞x22limx⎜⎟−1⎛⎞xx→∞⎜⎟⎝⎠()xaxb−+()lim⎜⎟=e【详解】x→∞⎝⎠()xaxb−+()⎛⎞(abxab−+)()abx−+2abxlimx⎜⎟⎜⎟limx→∞⎝⎠()xaxb−+()x→∞()xaxb−+()ab−===eee.因此应选(C).原题见《经典讲义》高等数学部分的例题1.37,以及强化班第一讲中的例题16、17.yz'(2)设函数zzx

3、y=(,),由方程F(,)0=确定，其中F为可微函数，且F≠0，则2xx∂∂zzxy+=∂∂xy(A)x.(B)z.(C)−x.(D)−z.【】【答案】应选(B).1【分析】利用公式直接求两个一阶偏导数.⎛⎞⎛⎞yzyz′FF12′′⎜⎟⎜⎟−+−22FF12′⋅+⋅′∂zF⎝⎠⎝⎠xxxxx【详解】因为=−=−=,∂xFF′′′1zF⋅22x1∂zF′F1′⋅F′yx1=−=−=−,∂yFF′′′1zF⋅22x∂∂zzyF′′′′+⋅zFyFFz1212所以x+=yz−==,因此应选(B).∂∂xyFFF′′′222∂z∂z【评注】此题也可两边求全微分求得、.∂x

4、∂y原题见《经典讲义》高等数学部分的第六章的例题6.19,以及强化班第八讲中的例题8.mln12−x1()(3)设mn,是正整数，则反常积分∫dx的收敛性0nx(A)仅与m的取值有关.(B)仅与n有关.(C)与mn,取值都有关.(D)与mn,取值都无关.【】【答案】应选(D).1【分析】x=0、1为瑕点，插入分点，利用比较判别法判断两个无界函数反常积分的敛2散性.22mln12−x1[ln1−−xx]mm[ln1]11()()()【详解】dx=+=2dxdxI+I.∫∫∫00n11112xnn2xx2m21+[ln1()−x]−21对I，当x→0~时，xmn.显然−

5、>−1，由比较判别法知无论正11mnxn整数m,n取何值,反常积分I是收敛的.1221[ln1()−−xx]mm[ln1()]对I，lim(1−=x)2lim2−−11xx→→11−xn(1−x)222−12−−−[ln1()xx]m(1)−1−1m4[ln1()−x]m==limlim−−31xx→→111−−−−(1xm)22(1−x)2222−22−−4(1)[ln1()−xx]m(1−)−1−2m8(2−−mx)[ln1()]m==limlim=0.−31−xx→→111−−222−−mx(1)mx(1−)2由比较判别法知无论正整数m,n取何值反常积分I是收

6、敛的，因此应选(D).2【评注】根据当年考试大纲的要求，此题属超纲范围.nnn(4)lim∑∑=n→∞()ninj++()22ij==111x11x1(A)∫∫00dx2dy.(B)∫∫00dxdy.()11++xy()()11++xy()111111(C)∫∫00dxdy.(D)∫∫00dx2dy.【】()11++xy()()11++xy()【答案】应选(D).【分析】用二重积分（或定积分）的定义【详解】因为nnnnnnlim∑∑22=lim∑∑n→∞i=1j=1(n+i)(n+j)n→∞i=1j=1i2j2n(1+)n[1+()]nnnn11=lim∑∑⋅2n→

7、∞ijni=1j=1(1+)[1+()2]nn111=dxdy，∫0∫0(1+x)(1+y2)所以应选(D)【评注】1.也可用定积分定义计算nnnnn1111lim∑∑22=lim∑(⋅)∑(⋅)n→∞i=1j=1(n+i)(n+j)n→∞i=1inj=1j2n1+1+()nnnn1111=lim∑(⋅)lim∑(⋅)n→∞inn→∞jni=11+j=11+()2nn1111111=dxdy=dxdy.∫01+x∫01+y2∫0∫0(1+x)(1+y2)32.以往多次考过定积分定义求极限，本题是首次考查二重积分定义求极限，题目较新颖.(5)设A为m×n矩阵,B为