1.2.2第2课时分段函数及映射学案（人教A版必修1）

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1、第2课时　分段函数及映射【课标要求】1．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用．2．了解映射的概念．【核心扫描】1．分段函数的图象及求值．(重点)2．对映射概念的理解．(难点)3．通过分段函数的学习体会分类讨论的思想.新知导学1．分段函数如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数．温馨提示：分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．2．映射设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集

2、合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．互动探究探究点1“分段函数是几个函数”这句话正确吗？提示　不正确，分段函数是一个函数，而非几个函数，只不过在定义域的不同子集上其解析式不同而已．探究点2映射一定是函数吗？提示　映射是函数的推广，而函数是映射的特殊情况，函数是非空数集A到非空数集B的映射，对映射而言，A，B不一定是非空数集，所以映射不一定是函数，函数一定是映射.类型一　分段函数的求值【例1】(1)设函数f(x)＝则f(f(3)

3、)＝(　　)．A.B．3C.D.(2)(2013·成都高一检测)已知函数f(x)＝若f(x)＝10，则x＝________.[思路探索]　→解析　(1)当x＝3＞1时，f(3)＝＜1，∴f(f(3))＝f＝2＋1＝.(2)当x≥0时，f(x)＝x2＋1＝10，∴x＝3(舍去－3)；当x＜0时，f(x)＝－2x＝10，∴x＝－5.综上知，x的值为－5或3.答案　(1)D　(2)－5或3[规律方法]　1.分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求得．若题目含有多层“f”，应按“由里到

4、外”的顺序层层处理．2．如果所给变量范围不明确，计算时要采用分类讨论的思想．【活学活用1】(1)已知函数f(x)＝则f＝________；(2)已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.解析　(1)由于≤1，所以f＝－2＝－，∴f＝f＝1＋2＝.(2)若x≥0，由x＋1＝2，得x＝1；若x＜0，由＝2，得x＝±，舍去x＝，∴x＝－.综上可知，x＝1或x＝－.答案　(1)　(2)1或－类型二　分段函数的图象与解析式【例2】(1)(2013·汕头高一检测)作f(x)＝x＋的图象．(2)如图，根

5、据函数y＝f(x)的图象，写出它的解析式．[思路探索]　(1)去绝对值号，化简f(x)的解析式并写出分段函数，再逐段画出图象．(2)根据图象列出每一段的解析式，合在一起形成f(x)的解析式．解　(1)f(x)＝图象如图．(2)当0≤x≤1时，f(x)＝2x；当1＜x＜2时，f(x)＝2；当x≥2时，f(x)＝3.故f(x)＝[规律方法]　1.对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的定义脱去绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数的图象．2．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不同，

6、因此画图时要注意区间端点处对应点的实虚问题．3．根据分段函数的图象求解析式时，首先求出每一段的解析式，然后写成分段函数的形式．【活学活用2】已知f(x)＝(1)画出f(x)的图象；(2)求f(x)的定义域和值域．解　(1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f(x)的定义域为R.由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x＞1或x＜－1时，f(x)＝1，所以f(x)的值域为[0,1]．类型三　映射的概念【例3】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射：(1)

7、A＝N*，B＝N*，对应关系f：x→

8、x－3

9、；(2)A＝{平面内的圆}，B＝{平面内的矩形}，对应关系f：“作圆的内接矩形”；(3)A＝{高一(1)班的男生}，B＝R，对应关系f：每个男生对应自己的身高；(4)A＝{x

10、0≤x≤2}，B＝{y

11、0≤y≤6}，对应关系f：x→y＝x.[思路探索]　根据映射的定义，只要检验对A中的任何元素，按对应关系f，是否在B中都有唯一的元素与之对应．解　(1)A中元素3在对应关系f的作用下与3的差的绝对值为0，而0B，故不是映射．(2)因为一个圆有无数个内接矩形，即集

12、合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应，故不是映射．(3)对A中任何一个元素，按照对应关系f，在B中都有唯一的元素与之对应，符合映射定义，是映射．(4)是映射，因为A中每一个元素在f：x→y＝x作用下对应的元素构成的集合C＝{y

13、0≤y≤1}B，符合映射定义．[规律方法]　判断对应f：A→B是否是A到B的映射，必须做到几点：(1)明确集合A，B中的元素．(2)根据映射定义判断A中每个元素是否在B中能找到唯一确定的对