§2.7函数模型及函数的综合应用

《§2.7函数模型及函数的综合应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、课标版理数§2.7　函数模型及函数的综合应用1.三种增长型函数模型的图象与性质知识梳理函数性质y=ax(a>1)y=logax(a>1)y=xα(α>0)在(0,+∞)上的增减性①增函数②增函数③增函数增长速度④越来越快⑤越来越慢相对平稳图象的变化随x增大逐渐表现为与⑥y轴平行随x增大逐渐表现为与⑦x轴平行随α值变化而不同2.三种增长型函数之间增长速度的比较(1)指数函数y=ax(a>1)与幂函数y=xα(α>0)在区间(0,+∞)上,无论α比a大多少,尽管在x的一定范围内ax会小于xα,但由于y=ax的增长速度⑧快于y=xα的增长速度,因而总存在一个x0,使x>x0时有⑨ax>x

2、α.(2)对数函数y=logax(a>1)与幂函数y=xα(α>0)不论a与α值的大小如何,对数函数y=logax(a>1)的增长速度总会⑩慢于y=xα的增长速度,因而在定义域内总存在一个实数x0,使x>x0时有logaxx0时有ax>xα>logax.3.解函数应用题的步骤(四步八字)(1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型;(2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识建立

3、相应的数学模型;(3)求模:求解数学模型,得出数学结论;(4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义.以上过程用框图表示如下:1.某家具的标价为132元,若降价以九折出售(即优惠10%),仍可获利10%(相对进货价),则该家具的进货价是(　    )A.118元　    B.105元　    C.106元　    D.108元答案    D　设进货价为a元,由题意知132×(1-10%)-a=10%·a,解得a=108,故选D.2.如图所示的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用容器下面所对的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的

4、关系,其中不正确的有(　    )A.1个　    B.2个　    C.3个　    D.4个答案    A　将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化规律上反映出来,①应该是匀速的,故下面的图象不正确,②中的变化规律应该是越来越慢的,正确;③中的变化规律是先快后慢再快,正确;④中的变化规律是先慢后快再慢,也正确,故只有①是错误的.选A.3.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,已知该商品每涨价1元,其销售量就减少20个,为了赚得最大利润,售价应定为每个元.答案    95解析　设售价为每个x元,利

5、润为y元,则y=[400-20(x-90)](x-80)=20(110-x)(x-80)=-20(x2-190x+8800)=-20(x-95)2+20×952-20×8800.∴当x=95时,y最大,最大值为4500.全书目录4.某公司一年购买某种货物600吨,每次都购买x吨,运费为3万元/次,一年的总存储费用为2x万元.若要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则每次需购买吨.答案    30解析　设总费用为y万元,由题意知y=×3+2x=+2x,x∈(0,600],∴y≥2=120(当且仅当x=30时,取“=”),所以每次购买30吨时,总费用最小.5.一个工厂生产某种产品每年需

6、要固定投资100万元,此外每生产1件该产品还需要增加投资1万元,年产量为x(x∈N*)件.当x≤20时,年销售总收入为(33x-x2)万元;当x>20时,年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为y万元,则y与x的函数关系式为,该工厂的年产量为件时,所得年利润最大.(年利润=年销售总收入-年总投资)答案y=;16解析　由已知得:当020(x∈N*)时,y=260-100-x=160-x.当x=21时,年利润最大

7、为139万元.综上可知,y与x的函数关系式为y=(x∈N*),且当年产量为16件时,所得年利润最大,为156万元.典例1    (2014湖南,8,5分)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p,第二年的增长率为q,则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　    )A.B.C.D.-1答案    D解析　设两年前的年底该市的生产总值为a,则第二年年底的生产总值为a(1+p)(1+q).设这两年生产总值的年平均增长率为x,则a(1+x)2=a(1+p)(1+q)