《3.1 数系的扩充》导学案

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1、第1课时　数系的扩充　教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、数学建构问题1　怎样解决-1也能开平方的问题?m]解　引入虚数单位i,规定:①i2=-1;②实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i是-1的一个平方根]问题2　

2、根据虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解　①复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.②复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式.问题3　复数与实数有什么关系?解　对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠

3、0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.　(图1)　　学生分组活动活动1　复数集C和实数集R之间有什么关系?活动2　如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类?活动3　复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗?问题4　a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗?解　是必要不充分条件.问题5　两个复数相等的充要条件是什么?解　两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di⇔a=c,b=d.问题6:任何两

4、个复数都能比较大小吗?解　如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】　(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i,5+错误！未找到引用源。i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P54)[处理建议]　让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.[规范板书]　解　4,2-3i,0,-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i,5+错误！未找到引用源

5、。i,6i的实部分别是4,2,0,-错误！未找到引用源。,5,0;虚部分别是0,-3,0,错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。,6.4,0是实数;2-3i,-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。i,5+错误！未找到引用源。i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.[题后反思]　对于复数z=a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.变式　实数0是复数吗?i2的实部与虚部分别是什么?[规范板书]　解　0是复数;由i2=-1

6、知,i2实部为-1,虚部为0.【例2】　(教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[2][处理建议]　先分析,注意字母的取值范围.由m∈R可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.[规范板书]　解　(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.(3)当m(m-1)

7、=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.[题后反思]　判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.变式　m取何实数时,复数z=错误！未找到引用源。+(m2-2m-15)i是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[规范板书]　解　(1)由错误！未找到引用源。解得错误！未找到引用源。所以当m=5时,z是实数.(2)由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。所以当m≠5且m≠-3时,z是虚数.(3)由错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。所以当m=

8、3或m=-2时,z是纯虚数.[题后反思]　判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+3≠0,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.