基础篇-第7章-科学计算

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1、第7章MATLAB科学计算7.1方程求解本节将分别讨论线性方程组、非线性方程组和常微分方程三种常见方程的解法。7.1.1线性方程组线性方程组是线性代数中的主要内容之一，也是理论发展最为完整的部分。在MATLAB中也包含多种处理线性方程组的命令，下面详细进行介绍。1.问题描述在实际应用中，经常需要求解如下所示的两类线性方程组，其中第一种更常见。AX=BXA=B按照数学的严格定义，并没有矩阵除法的概念，而MATLAB为了书写简便提供了用除号求解线性方程组解的方式，其具体用法如下：X=AB：左除，计算方程组AX=B的解。X=B/A：右除，

2、计算方程组XA=B的解。下面针对AX=B的形式进行说明。系数矩阵A是mn的矩阵，根据其维数可以分为如下3种情况：m=n为恰定方程组，即方程数等于未知量数。m>n为超定方程组，即方程数大于未知量数。m

3、(A)=rank([A,B])，则方程组无解。不难看出，线性方程组解的类型是由对应齐次方程组的解，对应系数矩阵和增广矩阵间的关系决定的。2.解的形式线性方程组AX=B解的形式可以如下描述：首先可以使用null函数求解对应齐次方程组AX=0的基础解系，也可以称为通解，则AX=B的解都可以通过通解的线性组合表示。其次求解非齐次线性方程组AX=B的特解。最后非齐次线性方程组AX=B解的形式为通解的线性组合加上特解。3.除法及求逆的解法(1)除法解法若线性方程组AX=B的系数矩阵可逆，则AB给出方程组的唯一解。【例7-2】使用除法求解系数矩

4、阵不可逆的恰定线性方程组。在命令窗口中输入如下语句：A=[137;-144;11018];det_A=det(A)B=[6;4;15]X=ABdet_A=0B=6415Warning:Matrixissingulartoworkingprecision.X=NaNInf-Inf从以上的结果可以看出，MATLAB会显示提示信息，表示该矩阵是奇异矩阵，因此无法得到精确的数值解。【例7-3】使用除法求解欠定线性方程组。在命令窗口中输入如下语句：C=magic(4);A=C(1:3,:)B=[1;0;0];X=AB命令窗口中的输出结果如下

5、所示：A=16231351110897612X=0.18630.02940-0.1569(2)求解逆法在例7-1中，已经介绍了通过求逆的方法求解方程组的解，这里着重介绍伪逆的用法。对于系数矩阵而言，它可能是方阵但不可逆，也可能不是方阵，上述情况都导致它的逆不存在或无定义，这就需要引入伪逆的概念。伪逆包含很多种形式(详见矩阵的有关书籍)，下面介绍最常用的基于最小二乘意义下的最优伪逆，在MATLAB中通过pinv函数可以实现，即可以使用矩阵A的伪逆矩阵pinv(A)来得到方程的一个解，其对应的数值解为pinv(A)*B。【例7-5】使用伪

6、逆矩阵的方法求解奇异矩阵的线性方程的解。在命令窗口中输入如下语句：A=[137;-144;11018];B=[5;2;12];X=pinv(A)*BC=A*X命令窗口中的输出结果如下所示：X=0.3850-0.11030.7066C=5.00002.000012.0000从上面的结果可以看出，通过使用伪逆矩阵的方法，可以求解得到数值解，同时该数值解可以精确地满足结果。上面都是介绍如何计算特解，下面介绍如何计算线性方程组的所有解。【例7-6】使用求逆法计算线性方程组的所有解。在命令窗口中输入如下语句：A=[1234;5678;91011

7、12];B=[1;1;2];X1=null(A)X2=pinv(A)*B命令窗口中的输出结果如下所示：X1=0.51350.1906-0.82670.12870.1129-0.82900.20030.5098X2=-0.1250-0.02080.08330.1875此时线性方程组的所有解为X=a*X1(:,1)+b*X1(:,2)+X2，其中a、b为任意实数。4.矩阵分解的解法(1)LU分解LU分解又可称为Gauss(高斯)消去法。若系数矩阵为方阵，它可以表示为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，即A=LU，其中L为下三角阵，U为上三角阵。

8、在MATLAB中通过lu函数可实现LU分解。针对LU分解，线性方程组AX=B可以表示为LUX=B，由于L和U的特殊性，通过X=U/(L/B)求解可以大大提高运算速度。LU函数的具体语法形式如下：[L,U]=lu(X)：X