[计算机软件及应用]计算机控制

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1、第三章计算机控制系统的数学基础3.1Z变换3.2Z变换的性质和定理3.3Z反变换本章思考题第三章计算机控制系统的数学基础2拉氏变换与Z变换的比较3.1Z变换33.1Z变换3.1.1Z变换的定义对其进行拉氏变换：此式称为采样函数的Z变换。F（z)是的Z变换，记作F(z)=z[f*(t)]=z[f(t)]43.1.2Z变换的方法1、级数求和法例1求1*（t）的Z变换。例2求的F(Z)。5例3单位斜坡函数注意到例4多项式函数62、部分分式法例求解的Z变换。例求解的Z变换。解：设7利用部分分式法求系数A1、A2、A38例求9例求103.1.3Z变换研究系统性能时应注意的问题

2、1z变换是建立在加权脉冲序列的基础上的，计算机控制系统中的信号应该满足理想化条件，即脉冲宽度应远远小于采样周期。不能确定采样时刻之间的信息。当连续对象的脉冲响应不为零时，会产生跳跃性的输出曲线。113.2Z变换的性质和定理1线性性质如果则2求和性质（叠加性质）证明：注意到两边取z变换式中12令m=k-n,注意到m<0时，f(mT)=0。Z变换乘以z-n后，时间函数f(t)延迟了一段时间nT。3乘以ak后的z变换4实数平移定理如果f(t)=0，对于t<0。证明：13例：若f(0)=0145后向差分和前向差分f(k)和f(k-1)之间的第一后向差分，被定义为其z变换为第

3、二后向差分定义为其z变换为15第m个后向差分为其z变换为f(k+1)和f(k)之间的第一前向差分，被定义为其z变换为第二前向差分定义为16其z变换为式中通常，第m个前向差分为其z变换为176复数平移定理例：若f（t）=1（t），则若f（t）=t，则187初值定理如果f(t)有z变换F(z)，并且如果极限存在，则f(t)或f(k)的初始值f(0)为证明：由Z变换的定义有19例：如果f(t)的z变换由下式给出，试确定其初始值f(0)F(z)对应的f(t)是由初值定理：208终值定理假设当k<0时f(k)=0，它的z变换F(z)的所有极点都在单位圆内，可能的例外是在单位圆

4、上z=1处有单极点(这是F(z)稳定的条件)，于是可以得到f(k)的终值。证明:由Z变换的定义有由实位移定理有上二式相减有21例：讨论下列差分方程当k<0时，f(k)=0,求解f(k)，并求初值和终值。由所求得的f(k)，并令k=0和k=∞可以得到同样的结果。由初值定理得：由终值定理得：讨论a>1的情况。22以z为变量的幂级数，在它的收敛域内被多次对z求导，可以得到一列收敛级数。F(z)导数的收敛域与F(z)的收敛域是相同的。9．复域微分23例已知求的Z变换解由实位移定理有由微分定理有2411.复域卷积设f1(t)和f2(t)都是可z变换的。连续函数中的卷积定理：f

5、1（t）的拉氏变换为F1（s），f2（t）的拉氏变换为F2（s），则10.实域卷积定理253.3Z反变换从Z域函数F(z)求时域函数f*(t)，叫做Z反变换。获取的只是在采样瞬时值上的时间序列，F(z)的反变换只是单值的f(kT)而不是单值的f(t)。记作1.直接除法由Z变换的定义而则c0,c1,c2,…就是脉冲序列f*(t)各采样点的值f(nT),所以则cn表示脉冲强度，表示nT时刻产生脉冲。26求的Z反变换解：272.部分分式法部分分式展开法是将F(z)展成若干分式和的形式，对每部分分式查Z变换表找出相应的f*(t)。因Z变换表中Z变换函数分子普遍有因子Z，所以

6、应将F(z)/z展开成部分分式。对于单个极点的情形：若F(z)/z有多重极点，且在z=pi处有二重极点且无其它极点。F(z)/z将有如下形式：28例：已知z变换函数，试求其z反变换。解：首先将E(z)/z展开成部分分式所以e(nT)=(-1+2n)10e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+…=0+10(t-T)+30(t-2T)+70(t-3T)+…29例已知z变换函数试求其z反变换。解：因为所以e*(t)=e(0)(t)+e(T)(t-T)+e(2T)(t-2T)+…=0+(1-e-aT)(t-T)+(1-e

7、-2aT)(t-2T)+(1-e-3aT)(t-3T)+…查表得e(t)=1(t)-e-at则e(nT)=1-e-anT30