矩阵可对角化的判定条件与推广

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1、--矩阵可对角化的判定条件及推广数学与计算机科学学院数学与应用数学（S）学号：2011031103姓名：方守强指导教师：梁俊平摘要：矩阵是否可以对角化，是矩阵的一条很重要的性质。对相似可对角化的充分必要条件的理解，一直是线性代数学习中的一个困难问题。本文给出了矩阵可对角化的几个充分必要条件和相应的证明。关键词：方阵；特征值；特征向量；对角化引言：矩阵是高等代数中的重要组成部分，是许多数学分支研究的重要工具。而对角矩阵作为矩阵中比较特殊的一类，其形式简单，研究起来也非常方便。研究矩阵的对角化及其理论意义也很明显，矩阵相似是一种等价关系，对角化相当于对一类矩阵在相似意义下给出了一种简单

2、的等价形式，这对理论分析是方便的。相似的矩阵拥有很多相同的性质，比如特征多项式、特征根、行列式⋯⋯如果只关心这类性质，那么相似的矩阵可以看作是没有区别的，这时研究一个一般的可对角化矩阵，只要研究它的标准形式——一个对角形矩阵就可以了。而对角矩阵是最简单的一类矩阵，研究起来非常方便。在本课题中通过阅读参考文献、查阅相关资料，初步总结出了矩阵可对角化的若干充分必要条件，并给予了相应的证明过程。一、矩阵可对角化的概念1特征值、特征向量的概念----定义的一个数1设A是数域P上线性空间V0存在一个非零向量使得A的一个线性变换,0,那么0称为如果对于数域P中A的一个特征值，而----称

3、为A的属于特征值0的一个特征向量。求方阵A的特征值与特征向量的步骤：(1)由特征方程EA=0求得A的n个特征值，设1,2,,t是A的互异特征值,其重数分别为n1,n2,,nt则n1n2ntn。----(2)求解齐次线性方程组iEAX0i1,2,,t,其基础解系pi1,pi2,,pis(1sini，i1,2,,t)就是A所对应特征值i的线性无关的特征向量。2矩阵可对角化的概念----定义2设A是矩阵F上一个n阶方阵，如果存在数域F上的一个可逆矩阵----P,使得P1AP为对角形矩阵，那么就说矩阵A可以对角化。----APi任意方阵iPiiA的每一个特征值i都有一个

4、与之相对应的特征向量1,2,,n，则这个方程可以写成Pi满足----12----AP1,P2,,PnP1,P2,,Pn,（1）----n我们定义矩阵PP1,P2,,Pn,Bdiag1,2,,n则（1）式可写成APPB,若矩阵P是可逆阵，则有P1APBdiag1,2,,n引理1设A、B都是n阶矩阵,则有秩AB≥秩A秩Bn。+引理2设1,2,,s(sn)为n阶方阵A的所有互异特征值，则矩阵A的线性无关的特征向量的最大个数为snrA1IrA2IrAsI。证明设1,2,,s(sn)为n阶方阵A的所有互异特征值，因为特征值ii1,2,,s相应的线性无关的特征向量的最大个数即

5、为线性方程组AiIX0的基础解析所含向量的个数，所以特征值1,2,,ssn相应的线性无关的特征向量的最大个数分别为nrAiI，nrA2I，⋯，nrAsI，而矩阵A的不同特征值的线性无关的特征向量并在一起仍然线性无关，从而,矩阵A线性无关的特征向的最大个数为snrA1IrA2IrAsI。引理3设A为n阶方阵,1,2,,s是任意两两互异的数,则r[A1IA2IAsI]rA1IrA2IrAsIs1n。----二、矩阵可对角化的充分必要条件1矩阵可对角化的充分必要条件及其证明定理1数域P上n阶方阵A可对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。----证明（1）充分性假设P1,P2,

6、,Pn是矩阵A的n个线性无关的特征向量，----即有APiiPii1,2,,n,令矩阵PP1,P2,,Pn由特征向量P1,P2,,Pn组----成，因为P1,P2,,Pn是线性无关的，因此矩阵P是非奇异矩阵，其逆矩阵记为P1，----根据逆矩阵的定义有P1P=P1P1,P1P2,,P1Pn，另一方面，由APiiPi易----知,APAP1,AP2,,APn=1P1,2P2,,nPn,给此式左乘矩阵P1，则有----1122P1APIn=，nn即充分性得证。（2）必要性令矩阵A和对角形矩阵D相似，即存在可逆矩阵P使得P1A

7、PD,则有APPD,于是记P=(P1,P2,,Pn)，Dd1,d2,,dnT则APPD可以写成AP1,AP2,,APn=(d1P1,d2P2,,dnPn)即有APidiPii1,2,,n,这说明矩阵P的列向量Pi是矩阵A的特征向量，而已知P是可逆阵，故P的n个列向量P,P,,P线性无关，必要性得证。12n定理2设APnn，则A可以对角化的充分必要条件是：(1)A的特征根都在数域P内,(2)对A的每个特征根,有，n秩EAk，其中k是的重数。条件(2)也可改述为：特征根的