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1、http://www.zhnet.com.cn或http://www.e12.com.cn数学破题36计第28计三角开门八面玲珑●计名释义三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具.它具有以下特点：1.公式多，变换多，技巧多；2.思想方法集中，特别是函数方程思想、数形结合思想和特殊一般思想；3.应用广泛，学科内自身应用和跨学科的综合应用.●典例示范【例1】设a,b∈R，a2+2b2=6，则a+b的最小值是（）A.-2B.C.-3D.【解答】a2+2b2=6=1.设(θ∈［0，2π］)，则a+b=cosθ+sinθ=3cos(θ-φ)，其中cosφ
2、=，sinφ=，∴a+b≥-3，选C.【点评】本例实施代数与解析几何、三角函数之间的转换，利用三角函数的有界性破题.【例2】已知正数x,y满足3x2+2y2=6x，则x2+y2的最大值是.【思考】对于本题，以下解法并不鲜见；由条件y2=3x-x2.∴x2+y2=x2+x2+3x=(x-3)2+.∴当且仅当x=3时，（x2+y2）max=.你能发现这种解法有什么毛病吗？先检验一下，如x=3,会有什么情况发生，将x=3代入已知条件，得：3×9+2y2=18.∴2y2=-9.显然，我们得到了一个错误的等式，毛病在哪里呢？是没有分析条件所暗示的变量x,y的范围，正确的解法是
3、:∵y2=3x-x2≥0，∴x2-2x≤0.得x∈［0,2］，而x2+y2=(x-3)2+.令z=(x-3)2+，则当x≤3时，z为增函数，已求x∈［0,2］，故当x=2时，zmax=(2-3)2+=4，即(x2+y2)max=4.【评注】本题若用三角代换，可以避开陷阱，达到八面玲珑.由条件得：中鸿智业信息技术有限公司http://www.zhnet.com.cn或http://www.e12.com.cn(x-1)2+y2=1.设，则x2+y2=(1+cosθ)2+sin2θ=cos2θ+2cosθ+(cosθ-2)2+.由于cosθ∈［-1,1］,故当cosθ=1时，(x
4、2+y2)max=+=4.此时，x=2，y=0.【例3】设抛物线y2=4px(p>0)的准线交x轴于点M，过M作直线l交抛物线于A、B两点，求AB中点的轨迹方程.【解答】抛物线y2=4px的准线为x=-p，交x轴于M(-p,0),设过M的直线参数方程为：(t为参数)代入y2=4px：t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0(1)方程(1)有相异二实根的条件是：1,设方程(1)之二根为t1，t2，则t1+t2=设AB之中点为Q(x,y)，∵t=.∴，消去θ得：y2=2p(x+p),∵
5、cotθ
6、>1，∴
7、y
8、>2p，即所求AB中点的轨迹方程为：y2=2p(x+p
9、)(
10、y
11、>2p).【点评】直线的参数方程即直线的三角形式，在处理解析几何中直线与曲线的关系中，常起重要作用，由于它能减少变量(由x,y两个变量减为一个变量t).所以其运算过程常比一般方程简便.但在起用直线的参数方程时，必须用其标准式：其中P(x0，y0)为定点，θ是直线的倾斜角:参数t表示动点M(x,y)与定点P(x0，y0)所连有向线段的数量，若M在P上方则t>0，反之t<0.【例4】两圆O1与O2外离，其半径分别为r1，r2，直线AB分别交两圆于A、C、D、B,且AC=DB，过A，B中鸿智业信息技术有限公司http://www.zhnet.com.cn或http://ww
12、w.e12.com.cn的切线交于E，求证：.【思考】本例是平面几何题吗?不是，谁要试图仅用平几知识证明，肯定难以成功，但若引入三角，则不然.【解答】作两圆直径AF，BG，连CF，DG，命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,那么AC=2r1sinα，BD=2r2sinβ,已知AC=BD，∴2r1sinα=2r2sinβ，例4题图,△EAB中，由正弦定理：∴.【例5】某矿石基地A和冶炼厂B在铁路MN的两侧，A距铁路m千米，B距铁路n千米.在铁路上要建造两个火车站C与D，并修两条公路AC与BD.A地的矿石先用汽车由公路运至火车站C，然后用火车运至D，再用汽车运到冶炼厂B
13、（如图所示）A、B在铁路MN上的投影A′、B′距离为l千米.若汽车每小时行u公里，火车每小时行v公里（v>u）,要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？【分析】求的是C、D建的地方，为了将问题简化，暂不考虑车站D，设法求出从A经过C到B′所需最短时间.【解答】∵AC=A′C=mtanA,∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA∴从A经过C到B′所需时间为例5题图t=由于，，为常数，问题转化为求y=
