概率全概公式和贝叶斯定理

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1、全概率公式和贝叶斯公式主要用于计算比较复杂事件的概率,它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用。综合运用加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)A、B互斥乘法公式P(AB)=P(A)P(B

2、A)P(A)>0三、全概率公式和贝叶斯公式例1.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。例2、市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品的合格率为80

3、%，求从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的合格灯泡的概率。求从市场上买到一个灯泡是合格灯泡的概率。若用A、Ā分别表示甲乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：P(A)=70%P(Ā)=30%P(AB)=0.665P(B/A)＝95%P(B/Ā)=80%P(ĀB)=0.24根据乘法法则：P(AB)=P(A)P(B/A)=0.7×0.95=0.665P(ĀB)=P(Ā)P(B/Ā)=0.3×0.8=0.24P(B)=P(AB)+P(ĀB)=P(A)P(B/A)+P(Ā)P(B/Ā)=0.665+0.

4、24=0.905定义:事件组A1，A2，…，An(n可为)，称为样本空间Ω的一个划分，若满足：A1A2……………AnB定理1.1(p17)设A1，…,An是Ω的一个划分，构成一个完备事件组,且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BΩ有式(1.12)就称为全概率公式。(p18)在较复杂情况下，直接计算P(B)不容易,但总可以适当地构造一组两两互斥的Ai，使B伴随着某个Ai的出现而出现，且每个容易计算。可用所有之和计算P(B)。由上式不难看出:“全部”概率P(B)可分成许多“部分”概率之和。它的理论

5、和实用意义在于:某一事件B的发生有各种可能的原因Ai(i=1,2,…,n)，如果B是由原因Ai所引起，则B发生的概率是每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因引起B发生概率的总和，即全概率公式。P(BAi)=P(Ai)P(B

6、Ai)全概率公式。我们还可以从另一个角度去理解例6：12个乒乓球都是新球，每次比赛时取出3个用完后放回去，求第3次比赛时取到的3个球都是新球的概率。解：设事件Ai、Bi、Ci分别表示第一、二、三次比赛时取到i个新球（i＝0、1、2、3）则且B0、B1、B2、B3构成一个完备事件组根

7、据全概率公式：例3:有甲乙两个袋子，甲袋中有两个白球，1个红球，乙袋中有两个红球，一个白球．这六个球手感上不可区别．今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？解：设A1——从甲袋放入乙袋的是白球；A2——从甲袋放入乙袋的是红球；B——从乙袋中任取一球是红球；甲乙定理2(p18)设A1，…,An是Ω的一个划分，且P(Ai)>0，(i＝1，…，n)，则对任何事件BΩ，有式(1.13)就称为贝叶斯公式。思考：上例中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答:例4

8、.市场上有甲、乙、丙三家工厂生产的同一品牌产品，已知三家工厂的市场占有率分别为1/4、1/4、1/2，且三家工厂的次品率分别为2％、1％、3％，试求市场上该品牌产品的次品率。试判断该次品是甲厂生产的概率由全概率公式：由Bayes公式:贝叶斯公式在实际中有很多应用，它可以帮助人们确定某结果（事件B）发生的最可能原因.贝叶斯公式也称为逆概公式解:一批同型号的螺钉由编号为I,II,III的三台机器共同生产。各台机器生产的螺钉占这批螺钉的比例分别为35%,40%,25%。各台机器生产的螺钉的次品率分别为3%,2%和1%

9、。现从该批螺钉中抽到一颗次品。求:这颗螺钉由I,II,III号机器生产的概率各为多少?设A={螺钉是次品},B1={螺钉由1号机器生产},B2={螺钉由2号机器生产},B3={螺钉由3号机器生产}。则:由贝叶斯公式，得同理,P(B1)=0.35,P(B2)=0.40,P(B3)=0.25,P(A

10、B1)=0.03,P(A

11、B2)=0.02,P(A

12、B3)=0.01。小结本节首先介绍了条件概率的定义及其计算公式；然后利用条件概率公式得到了乘法公式、全概率公式及贝叶斯公式定义1.4(P20)如果事件A发生的可能性不

13、受事件B发生与否的影响，即P(A/B)=P(A),则称事件A对于事件B独立。若A对于B独立，则B对于A也一定独立，?称事件A与事件B相互独立。1.5独立试验概型(一)事件的独立性定义1.5如果n(n>2)个事件A1,A2,…,An中任何一个事件发生的可能性都不受其他一个或几个事件发生与否的影响，则称A1,A2,…,An相互独立一、两事件独立根据定义1.4设A、B是两事件，P(B)≠0,