有些复杂问题往往给人以变幻莫测的感觉难以掌握其中的

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1、有些复杂问题，往往给人以变幻莫测的感觉，难以掌握其中的奥妙。当我们把思维扩展到线性空间，利用线性代数的基本知识建立模型，就可以掌握事物的内在规律，预测其发展趋势。线性代数模型Durer魔方德国著名的艺术家AlbrechtDurer(1471--1521)于1514年曾铸造了一枚名为“MelencotiaI”的铜币。令人奇怪的是在这枚铜币的画面上充满了数学符号、数学数字和几何图形。这里我们仅研究铜币右上角的数字问题。1Durer魔方16321351011896712415141特点每行之和、每列之和、对角线之和、四个小

2、方块之和、中心方块之和都相等，为确定的数34。所出现的数是1至16的自然数。四角之和、中间对边之和均为34。最下边一行中心数为1514，正是制币的时间。问题是否还存在具有这些（或部分）性质的魔方？06118910601509119960711891070160911997108010015014011050407020160901201303060定义如果4×4数字方，它的每一行、每一列、每一对角线及每个小方块上的数字之和都为一确定的数，则称这个数字方为Durer魔方。R=C=D=S你想构造Durer魔方吗？如何构成

3、所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？2Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合为D0000000000000000O=1111111111111111E=R=C=D=S=0R=C=D=S=4a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44A=b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44B=类似于矩阵的加法和数乘，定义魔方的加法和数乘。易验证，D加法和数乘封闭，且构成一线性空间。记M={所有的4×4数字方

4、}，则其维数为16。而D是M的子集，则D是有限维的线性空间。根据线性空间的性质，如果能得到D的一组基，则任一个Durer方均可由这组基线性表示。由0,1数字组合，构造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8个，记为Qi,i=1,2,…,8。Q1=1000001000010100Q2=1000000101000010Q3=Q4=00011000001001000001010010000010Q5=0010100001000001Q6=0100001010000001Q7=0010010000011000Q8=010000

5、0100101000易知则线性相关。而由0000000000000000=线性无关。任一Durer方可由它们线性表示。结论：1Durer方有无穷多个。2Durer方可由线性组合得到。AlbrechtDurer的数字方的构成：=163213510118967124151413Durer方的应用推广（1）要求数字方的所有数字都相等。基为1维空间（2）要求行和、列和、每条主对角线及付对角线数字和都相等。基为5维空间1010101001010101011010010110100110010110100101100101101

6、0101001011100001111000011例1721116161122-3127621126712R=C=H=N=46H主对角线，N付对角线数字和。（3）要求行和、列和及两条对角线数字和相等。8维空间Q。基为D是Q的7维子空间。01-10000000000-110例679812657510967779R=C=D=30（4）要求行和、列和数字相等。10维空间W。基为010-110-10-10010-1100000100-1-100100000100100000010010（5）对数字没有任何要求的数字方16维空

7、间M空间维数015781016思考能否构造出其他维数的数字方？练习完成下面的Durer方61494887116798597R=C=D=S=30R=C=D=S=100作业构造你自己认为有意义的Durer方。6798125586119467710植物基因的分布设一农业研究所植物园中某植物的的基因型为AA、Aa和aa。研究所计划采用AA型的植物与每一种基因型植物相结合的方案培育植物后代。问经过若干年后，这种植物的任意一代的三种基因型分布如何？1建模准备植物遗传规律？动植物都会将本身的特征遗传给后代，这主要是因为后代继承了双

8、亲的基因，形成了自己的基因对，基因对就确定了后代所表现的特征。常染色体遗传的规律：后代是从每个亲体的基因对中个继承一个基因，形成自己的基因对，即基因型。如果考虑的遗传特征是由两个基因A、a控制的，那末就有三种基因对，记为AA、Aa和aa。金鱼草花的颜色是由两个遗传因子决定的，基因型为AA的金鱼草开红花，Aa型的开粉红花，而aa型的开白花。人类眼