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时间:2019-05-07
《07级数学分析(3)试题(a卷)及解答new》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、中国矿业大学试卷数学分析(3)试题(A)(理学院2007级用,考试时间:2008年12月15日星期一)答题时间:100分钟考试方式:闭卷班级____________姓名____________序号___________成绩____________题号一二三四五六七八总分得分一(10分)利用二元函数的泰勒公式证明:和有,。二(10分)已知:,求和。9三(10分)计算,是所围闭区域。四(10分)求球面与锥面所截出的曲线在点处的法平面方程。9五(15分)设为曲面取上侧,计算六(15分)计算,其中分别是:(i)是圆周:,
2、逆时针;(ii)是不包含原点的光滑闭曲线,逆时针;(iii)是包含原点的光滑闭曲线,逆时针。9七(15分)在力场作用下,质点从原点沿直线移到上第一卦限点,为何值时力作的功最大,并求最大功。八(15分)设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?9数学分析(3)试题(A)解答(理学院2007级用,考试时间:2008年12月15日星期一)一(10分)利用二元函数的泰勒公式证
3、明:和有,.证明:设,则,,,,,。将在点展开为一阶泰勒公式。那么对任意的,必存在,有,容易验证矩阵恒为半负定的,故上式的最后一项恒小于等于零,因此结论成立。注:余项不利用二次型,直接配方也可。二(10分)已知:,求和。解:把和都看作为和的二元函数,方程组两边对求偏导数,得,整理得9,因而,。三(10分)计算,是所围闭区域。解:画出积分区域,考虑先对积分得:。四(10分)求球面与锥面所截出的曲线在点处的法平面方程。解:设,,则曲线在处法平面的法向量为:,因而要求的法平面方程为:或。五(15分)设为曲面取上侧,计算
4、解:补辅助面,取下侧9。[或用柱坐标:],,。六(15分)计算,其中分别是:(i)是圆周:,逆时针;(ii)是不包含原点的光滑闭曲线,逆时针;(iii)是包含原点的光滑闭曲线,逆时针。解:(1)由Green公式有:(2)令,则,且,,,在及上连续,故由Green公式有:。(3)以原点为圆心,作以为半径作正向圆周:,其中小于原点到集合的距离,记与所围区域为,则由Green公式有:,9由此并利用(1)的结果有:。七(15分)在力场作用下,质点从原点沿直线移到上第一卦限点,为何值时力作的功最大,并求最大功。解:直线段的
5、参数方程:,,。把换成,即求条件极值作Lagrange函数:,上面(1),(2),(3)分别乘相加得,代入(4)得,再代入(1)得,类似可得,,而最大功。八(15分)设有一高度为(为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?9解:记雪堆体积为,侧面积为,则,(用极坐标)。由题意知,,故,因而,,令得(小时)。因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间约为小时.9
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