07级数学分析(3)试题(a卷)及解答new

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1、中国矿业大学试卷数学分析(3)试题(A)（理学院2007级用，考试时间：2008年12月15日星期一）答题时间：100分钟考试方式：闭卷班级____________姓名____________序号___________成绩____________题号一二三四五六七八总分得分一（10分）利用二元函数的泰勒公式证明:和有,。二（10分）已知：，求和。9三（10分）计算，是所围闭区域。四（10分）求球面与锥面所截出的曲线在点处的法平面方程。9五（15分）设为曲面取上侧，计算六（15分）计算，其中分别是：（i）是圆周：，

2、逆时针；（ii）是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针；（iii）是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。9七（15分）在力场作用下，质点从原点沿直线移到上第一卦限点，为何值时力作的功最大，并求最大功。八（15分）设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程，设长度单位为厘米,时间单位为小时,已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?9数学分析(3)试题（A）解答（理学院2007级用，考试时间：2008年12月15日星期一）一（10分）利用二元函数的泰勒公式证

3、明:和有,.证明：设，则，，，，，。将在点展开为一阶泰勒公式。那么对任意的，必存在，有，容易验证矩阵恒为半负定的，故上式的最后一项恒小于等于零，因此结论成立。注：余项不利用二次型，直接配方也可。二（10分）已知：，求和。解：把和都看作为和的二元函数，方程组两边对求偏导数，得，整理得9，因而，。三（10分）计算，是所围闭区域。解：画出积分区域，考虑先对积分得：。四（10分）求球面与锥面所截出的曲线在点处的法平面方程。解：设，，则曲线在处法平面的法向量为：，因而要求的法平面方程为：或。五（15分）设为曲面取上侧，计算

4、解：补辅助面,取下侧9。[或用柱坐标:]，，。六（15分）计算，其中分别是：（i）是圆周：，逆时针；（ii）是不包含原点的光滑闭曲线，逆时针；（iii）是包含原点的光滑闭曲线，逆时针。解：(1)由Green公式有:(2)令,则,且，，,在及上连续,故由Green公式有:。(3)以原点为圆心,作以为半径作正向圆周:,其中小于原点到集合的距离,记与所围区域为,则由Green公式有:，9由此并利用(1)的结果有:。七（15分）在力场作用下，质点从原点沿直线移到上第一卦限点，为何值时力作的功最大，并求最大功。解：直线段的

5、参数方程:,，。把换成，即求条件极值作Lagrange函数：，上面(1),(2),(3)分别乘相加得,代入(4)得,再代入(1)得,类似可得,，而最大功。八（15分）设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程，设长度单位为厘米,时间单位为小时,已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数0.9),问高度为130cm的雪堆全部融化需要多少小时?9解：记雪堆体积为,侧面积为,则，(用极坐标)。由题意知，，故，因而，，令得(小时)。因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间约为小时.9