3.3.3最大值与最小值（平行班用）

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1、高中数学选修1-13.3.3最大值与最小值一般地，设函数y＝f(x)在x＝x0及其附近有定义，如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都大，我们就说f(x0)是函数的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0是极大值点．如果f(x0)的值比x0附近所有各点的函数值都小，我们就说f(x0)是函数的一个极小值．记作y极小值＝f(x0)，x0是极小值点．极大值与极小值统称为极值.一、函数极值的定义知识回顾1．在定义中，取得极值的自变量称为极值点，极值点是自变量(x)的值，极值指的是函数值(y)．注　意2．极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比

2、较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．3．函数的极值不是惟一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个．4．极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，是极大值点，是极小值点，而（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格．检查f(x0)在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值．二、求函数f(x)的极值的步骤：（1）求导数f(x0)；（2）求方程f(x0)＝0的根；注意：如果函数f(x)在x0处取得极值，意味着一、最值的概念(最大值与最小值)新课

3、讲授如果在函数定义域I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),则称f(x0)为函数f(x)在定义域上的最大值.最值是相对函数定义域整体而言的.1.在定义域内,最值惟一;极值不惟一;注意：2.最大值一定比最小值大.x1x2x3bxyaO[a，b]二.如何求函数的最值?（1）利用函数的单调性;（2）利用函数的图象；（3）利用函数的导数．如：求y＝2x＋1在区间[1，3]上的最值．如：求y＝(x－2)2＋3在区间[1，3]上的最值.（2）将y＝f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．（1）求f(x)在区间(

4、a，b)内极值（极大值或极小值）．利用导数求函数f(x)在区间[a，b]上最值的步骤：例1求函数f(x)＝x2－4x＋3在区间[－1，4]内的最大值和最小值．解：f(x0)＝2x－4，令f(x0)＝0，即2x－4＝0，得x＝2．x－1（－1，2）2（2，4）40－＋83－1故函数f(x)在区间[－1，4]内的最大值为8，最小值为－1.例2求f(x)＝x＋sinx在区间[0，2π]上的最值．解　函数f(x)的最大值是π，最小值是0．延伸1:设,函数的最大值为1,最小值为,求常数a,b.解:令得x=0或a.当x变化时,,f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)

5、0(0,a)a(a,1)1f’(x)+0-0+f(x)-1-3a/2+b↗b↘-a3/2+b↗1-3a/2+b由表知,当x=0时,f(x)取得极大值b,而f(0)>f(a),f(0)>f(-1),f(1)>f(-1).故需比较f(1)与f(0)的大小.f(0)-f(1)=3a/2-1>0,所以f(x)的最大值为f(0)=b,故b=1.又f(-1)-f(a)=(a+1)2(a-2)/2<0,所以f(x)的最小值为f(-1)=-1-3a/2+b=-3a/2,所以求下列函数在给定区间上的最大值与最小值练习1函数，在［－1，1］上的最小值为_____．练习练习2:求函数f

6、(x)=2x3+3x2-12x+14在区间[-3,4]上的最大值和最小值.答案:最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.3．下列说法正确的是()A.函数的极大值就是函数的最大值B.函数的极小值就是函数的最小值C.函数的最值一定是极值D.在闭区间上的连续函数一定存在最值4.函数y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是M，最小值是m,若M=m,则f(x)()A.等于0B.大于0C.小于0D.以上都有可能课后作业：课本第91页练习第2，3，4题．