2.4.2函数的极值 (2)

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1、3.7函数的极值(一)yyyy年M月d日星期利用导数判断函数单调性的结论：复习回顾（一）函数的极值的定义观察下面的函数y=f(x)的图象：Oxyaf(a)Oxybf(b)新课教学Oxyaf(a)定义：设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)f(x0),我们就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0).Oxybf(b)极大值与极小值统称为极值.在定

2、义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值注意以下几点：（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小;（ⅱ）函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个;xyOabcdey=f(x)（ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.（ⅲ）极大值与极小值之间无确定的大小关系,即一个函数的极大值未必

3、大于极小值，如下图所示，a是极大值点，d是极小值点，而>;xyOabcdey=f(x)（二）函数极大值和极小值的判断方法：Oxyaf(a)Oxyb求可导函数f(x)的极值的步骤:(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)(2)求方程f′(x)=0的根(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号：如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值注意：对可导函数,

4、导数为0是该点是极值点的必要而非充分条件.例如，对于函数f(x)=x3,在x=0点处的导数是0，但它不是极值点.y=x3例1求y=x3－4x+4的极值解：y′=(x3－4x+4)′=x2－4=(x+2)(x－2)令y′=0，解得x1=－2，x2=2当x变化时，y′，y的变化情况如下表极大值极小值-2(-2,2)2+0－0+↗↘↗∴当x=－2时，y有极大值且y极大值=当x=2时，y有极小值且y极小值=－例题解析其图象如右图.例1求y=x3－4x+4的极值例2求y=(x2–1)3+1的极值.解：y′=6x(x2－1)2=6x(

5、x+1)2(x－1)2令y′=0解得x1=－1，x2=0，x3=1当x变化时，y′，y的变化情况如下表-1(-1,0)0(0,1)1－0－0+0+↘无极值↘极小值0↗无极值↗∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0例2求y=(x2–1)3+1的极值.其图象如右图.例3、（2008.广东文)设a∈R,若函数y=ex+ax,x∈R有大于零的极值点，则解析：由练习求下列函数的极值.(1)y=x2－7x+6(2)y=x3－27x（1）∴当x=时，y有极小值，且y极小值=－.（2）当x=－3时，y有极大值，且y极大值=54.当x=3时

6、，y有极小值，且y极小值=－54二次函数（定义域为R)的极值就是它的最值,函数的极大、极小值的定义以及判别方法.求可导函数f(x)的极值的三个步骤.函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，在整个定义区间可能有多个极值，且要在这点处连续.可导函数极值点的导数为0，但导数为零的点不一定是极值点，要看这点两侧的导数是否异号.函数的不可导点可能是极值点小结