2011湖南高考题数学(理科)

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1、2011年普通高等学校招生统一考试湖南卷理科数学解析一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。高为2的长方体以及一个直径为3的球组成的简单几何体，其体积等于。故选B评析：本小题主要考查球与长方体组成的简单几何体的三视图以及几何体的体积计算.4.通过随即询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好40[来源:学*科*网]2060不爱好203050总计6050110由算得，.附表：[来源:学_科_网Z_X_X_K]0

2、.0500.0100.0013.8416.63510.8286.由直线与曲线所围成的封闭图形的面积为A.B.1C.D.答案：D解析：由定积分的几何意义和微积分基本定理可知S=。故选D评析：本小题主要考查定积分的几何意义和微积分基本定理等知识.8.设直线与函数的图像分别交于点，则当达到最小时的值为9.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）.在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，曲线的方程为，则与的交点个数为.答案：解析：如图2中，连接EC，AB,OB,由A,

3、E是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,且⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=,BD=1,且AF=BF=.故填评析：本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.（二）必做题（12～16题）12.设是等差数列的前项和，且，，则.答案：25解析：因为，，所以，则.故填25评析：本小题主要考查等差数列的基本量计算问题.13.若执行如图3所示的框图，输入，，，，则输出的数等于.答案：解析：①当，计算[来源:学科网]②当，计算③当，计算④当，计算，输出.故填评析：本小题

4、主要考查算法框图的阅读与理解以及统计中方差的计算.14.在边长为1的正三角形ABC中，设则.答案：解析：设则且，所以=，故填解析：（1）由题意知，所以2；[来源:Z.xx.k.Com]（2）通过例举可知：，，，，，，，，且相邻之间的整数的个数有0，1，3，7，15，31，63.它们正好满足“杨辉三角”中的规律：从而由知，，于是===因为，所以.从而当，即时，取最大值2.综上所述，的最大值2，此时，.评析：本大题主要考查解三角形中的正弦定理或余弦定理的运用，以及运用三角公式进行三角变换的能力以及三角函数的

5、最值、求角问题.18.（本小题满分12分）某商店试销某种商品20天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变）.设某天开始营业时由该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货.将频率视为概率.故的分布列为所以的数学期望为.评析：本大题主要考查生活中的概率统计知识和方法.求离散型随机变量的分布列和数学期望的方法，以及互斥事件概率的求法.19.（本小题满分12分）如图5，在圆锥中，已知，⊙的直径=2，是弧的中点

6、，为的中点.证明：平面平面;求二面角的余弦值.解法1：连接，因为=，为的中点，所以.又⊙，底面⊙，所以.因为，是平面内的两条相交直线，所以.而平面，所以平面平面在平面中，过作于，由知，平面平面，所以平面.又平面，所以.在中，所以故二面角的余弦值为.解法2：如图所示，以为坐标原点，,所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，.设是平面的一个法向量，则由，，得所以取得设是平面的一个法向量，则由，，得所以取得因为，所以.从而平面平面因为轴，所以的一个法向量为.由知，平面的一个法向量为.设向量和的

7、夹角为，则由图可知，二面角与相等，所以二面角的余弦值为.评析：本大题主要以圆锥为几何背景考查面面垂直的判定和二面角的求法，可以运用传统几何法，也可以用空间向量方法求解.突出考查空间想象能力和计算能力.20.（本小题满分13分）如图6，长方形物体在雨中沿面（面积为）的垂直方向作匀速移动，速度为（），雨速沿移动方向的分速度为（）.移动时单位时间内的淋雨量包括量部分：(1)或的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与成正比，比例系数为；（2）其它面的淋雨量之和，其值为.记为移动过程中的总淋雨量.当移动距离

8、，面积时，写出的表达式；设，，试根据的不同取值范围，确定移动速度，使总淋雨量最少.解：由题意知，移动时单位时间内的淋雨量为，故由知，当时，当时，故（1）当时，是关于的减函数，故当时，（2）当时，在上，是关于的减函数；在上，是关于的增函数.故当时，评析：本大题主要以生活化、物理性背景着重考查学生的阅读理解能力和抽象概括能力以及数学建模、解模的能力.21.（本小题满分13分）如图7，椭圆的离心率为，轴被曲线截得的线段长等于的长半轴长.求，的方程