中学数学研究-陕070809想法是怎样形成的——点到直线距离公式推导的思考

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1、资料编号14728解析几何点到直线的距离薛彬发表在陕070809上属于教法、类型、公式题为《想法是怎样形成的——点到直线距离公式推导的思考》1问题的缘起学生在解决数学问题时产生的困扰大致有以下情形：情形1遇到一些数学问题，常常感到束手无策；情形2能够着手解决，但没有得到正确的结果；情形3能够完成解答，但做法不简捷.简言之，就是不会，不对，不快.情形1应该说是最严重的困扰：没有解决问题的想法，这直接导致学生学习兴趣的丧失.情形2常常是运算过程出现问题.情形3究其原因是想法不够好，解答过程复杂也容易导致结果出错，

2、产生情形2.所以说，克服学生在解决数学问题时产生的困扰，关键是让他们学会思考，形成解决问题的想法.问题的每一个解答都是一个想法的结果.关注想法的形成过程，有助于提高学生分析问题和解决问题的能力.我们可以就各种数学问题探讨它们的解决之道.为了突出我们讨论的重点，我们从一个问题的多种解法如何产生的角度来加以论述.我们在编写《全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（上）》时，曾对教材中如何介绍点到直线的距离公式的推导方法进行了讨论.笔者也曾在一所中学听了这个内容的一节课.于是，想到用这个内容作为案例，通过对点到

3、直线的距离公式推导的思考，看看各种想法到底是怎样形成的.2点到直线距离公式推导的探究把③代入②得关于x的一元二次方程，令判别式为0,求出的r就是要求的d.3回顾与思考从以上探究，我们可以看到想法是围绕着问题而产生的.解直角三角形；点到直线的距离的定义；直线外一点与直线上一点所连线段中，垂线段最短；向量的数量积；两平行直线间距离相等；直线与圆的位置关系等成为推导点到直线距离公式的重要依据.它们是与点到直线距离相关的内容，因而能够被回忆起来用以解决问题.另外，两点间距离公式推导过程中构成直角三角形等想法也有启示作

4、用.已有的知识和经验成为解决问题的基础.有了相应的知识基础，还要善于发现新旧内容之间的联系.从以上探究，我们看到求点到直线的距离的问题是如何转化为我们熟悉的问题的：探究1是转化为解直角三角形的问题;探究2是转化为求三角形的高;探究3是转化为求两点间的距离；探究4是转化为求线段的最小值；探究5是转化为求数量积；探究6是转化为求两平行线间的距离;探究7、探究8是转化为求原点到直线的距离；探究9是转化为直线与圆相切.正是这些转化成为解决问题的关键,从而形成解决问题的想法.以上我们通过对点到直线的距离公式推导的探讨，

5、对解决这个问题的各种想法是怎么形成的进行了分析.揭示做法背后的想法有助于学生思维能力的提高，需要更细致深入和广泛的研究.参考文献1人民教育出版社中学数学室.高级中学课本平面解析几何全一册(必修）[M].北京:人民教育出版社,19902人民教育出版社中学数学室.全日制普通高级中学教科书(必修)数学第二册(上）[M].北京..人民教育出版社,20043人民教育出版社中学数学室.全日制普通髙级中学（必修）数学第二册（上）教师教学用书[M].北京：人民教育出版社，2004