中学数学研究-鄂140304初探课堂教学中数学思想方法教学的渗透

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1、资料编号15408直线和圆的方程位置关系唐卉发表在鄂140304上属于教法、类型、思想题为《初探课堂教学中数学思想方法教学的渗透》众所周知，圆是一种特殊的圆锥曲线，直线与圆的位置关系一直是高中数学的重点.从知识层面来说，线圆通过相切、相离、相交三种位置关系渗透出代数味道和几何本质，这是学生需要掌握的线圆位置关系的初级学习目标;从能力层面来看，线圆位置关系的教学不再以单一的知识进行，其注重了将来为进一步学习直线和圆锥曲线的位置关系做铺塾，将数学思想方法进行合理的渗透，为解决解析几何板块的突破找到了切入点，这是课堂教学的高级目标——利用思想方法教学便应运

2、而生，通过思想方法教学，不仅大大提高了教学的效率和有效性，更站在系统的高度理解了线圆位置关系中代数表达和图形本质完美的结合.本文正是在这样的背景下，结合课堂教学实际做了一次尝试.本课内容节选自苏教版《必修2》4.2圆方程后续知识——直线和圆的位置关系一课.本课着重体现了解析几何中的数形结合思想，帮助学生树立“数形是一家，解题不分离”的意识，以及在课堂教学中采用一题多变、一题多解的教学方法，拓展学生思维的发散性，培养学生对问题深人思考、多角度思考的思维习性.现把课堂实录整理如下，与大家探讨交流.一、教学实录1.课题引入师:请同学们回顾一下点与圆的位置关

3、系.(幻灯片展示点和圆的三种位置关系，体现数形结合的数学思想）师:如何判断点和圆的位置关系呢？生..比较圆心到点的距离和圆的半径的大小关系.师:那我们试试看这个问题(多媒体展示实例:船是否会遭遇台风），船是否能安全到达呢？用数学的眼光来看待、抽象、归纳这个问题，你能说说数学本质吗？生:是关于点和圆的位置关系问题.师:再进一步，船在运动时点形成线，所以本质上是一个直线和圆的问题，所以解决本题的关键是要看船的轨迹这条直线是否会经过台风区域，这就是我们本节课所要学习的内容：直线和圆的位置关系.（给出课题:直线和圆的位置关系）2.建立新知第一阶段：新知重建.

4、(图片展示直线和圆的三种位置关系及其交点个数）复习回顾初中所学的直线和圆的位置关系并得出如何判断直线和圆的位置关系.(强调数形结合的思想，“几何法”即以形辅数）师:同学们已经会类比考虑了，这种方法从位置关系上得出了数量关系，我们给它取一个名字“几何法”，几何法将贯穿我们本堂课的学习，同学们可以好好体会.(图片展示把具有三种位置关系的直线和圆全部放入坐标系中）生:直线和圆的交点个数就和方程组的解的个数联系了起来.师:把几何问题和代数问题联系了起来，通过判断方程组交点个数这种代数方法解决了圆和直线是否相交的几何问题，通过数形结合实现了转化，叫做“代数法”

5、.(分小组，分别用几何法和代数法解决本节课的引例，通过对比让学生初步体会几何法在直线和圆的位置关系中的运用特点:计算量小，简便）第二阶段：夯实双基.(统一板书，先写几何法，让学生进一步加深对两种方法的印象.此时学生已经熟练掌握了两种判断直线和圆的位置关系的方法，并且都跃跃欲试地准备大展身手）师:第一问解决后，得到结论直线和圆相交，那么相交弦如何求呢？生1:联立方程可以得到两交点.4的坐标，然后由两点间距离公式可以得到相交弦的长度.师:很好，这是沿着代数法的思路解决问题，还有没有其他的方法呢？仔细想想看,直线和圆相交的时候，有哪些几何性质是可以被我们所

6、用的呢？(在黑板上画出本例题的图形）生2:可以过圆心作弦的垂线,那么就会出现一个直角三角形.师:这位同学想法不错，我们为这个直角三角形起—个名字“弦心距三角形”，是有关半径、圆心到直线的等式，可以很轻松地解出弦长.(幻灯片展示求弦长的过程）师:想想看,通过引例和例1，你们有什么发现？生1:初中学过的圆的相关知识这里可以利甩生2:利用几何法判断直线和圆的位置关系计算量更小一点.生3:我们要学会对实际问题的抽象概括.师:同学们说的都很好，接下来我们看看大家能不能灵活地学以致用.第三阶段：注重变式.(在例1的基础上，给出两个变式，让学生自己发现含参数的直线

7、与圆的位置关系的规律）师:思考一下，然后我们请两个同学来给我们解答变式1.(生1用代数法，生2用几何法，明显生2要快很多，再次说明几何法的优势）师:接下来我们来一起解决变式2,大家快速计算一下，然后告诉我结果.生1:用几何法时，圆心到直线的距离始终小于半径，相交.生2:代数法比较麻烦，联立方程后不论爪取何值，直线和圆都相交.师:现在两个问题结合起来考虑，同一个圆,两条含参数的直线，为什么会出现不同的位置关系呢？(此时，学生的积极性被完全调动了起来，相互之间展开了讨论）师:讨论有没有结果呢？请大家把结果和我们分享一下.生:（主动站起来)两条直线都含参数

8、，所以都过定点.而第一条直线所过的定点在圆外，第二条直线所过的定点在圆内.(学生说的稍微犹豫，有点儿底气不足