中学数学研究-陕080508返璞归真：从具体到抽象——函数零点

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1、资料编号14413函数函数的零点摘要杨佩琼发表在陕080508上属于教法、辅导、课例题为《返璞归真：从具体到抽象——函数零点》高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，然而数学的概念、模型、结论以至证明过程都是脱离物质形式的[1]．因此，在学懂数学的过程中，除了经常用到逻辑思维以外，重要的还有从具体现象到数学的一般抽象以及将一般结论应用到具体情况的思维过程．本文以一则典型案例的教学片断一一“零点存在性定理”具体阐述．l案例描述1.1实验设计（零点存在性的判断[2]）给学生一条直线和一条细线（图1)，并记细线的两个

2、端点为A和B，让学生动手，观察在什么样的情况下一定能够保证这条细线和给定的直线有交点？学生可以发现当点A和B在直线的两侧时一定能满足题意，而当点A和B位于直线的同侧时，有可能有交点，也可能没有交点。故不一定有交点。引导学生从数的角度来分析得到的结论．教师继续问．在刚才的情况下（A和B在直线的两侧时）细线与给定直线已经有交点了，请间你能设计出方案使得他们没有交点吗？学生会有两种方案：①将点A和B移到直线的同侧（进一步说明了的必要性）；②只要把细线剪断（来说明的数图象必须是连续的）.通过上述探究，让学生自己概括出零点存在性定理．1.2设计意图因为

3、且图象在区间上连续不断，是函数在区间有零点的充分而非必要条件，学生对这点的理解比较困难．因此，根据情况创设简单明了的数学实验，降低学生学习中抽象性的难度，让学生直观感受到酮数零点存在性定理各条件的作用，从实验的解决中领悟定理本质。2本质解析一个好的数学情境，应该是有鲜明的目标指向，能融数学教与学为一体，具有数学教学活动的内驱力，并使数学课堂具有自我生长性的立体的环境阔，从这个层面上看，教师设计了一个非常好的教学情境，为学生理解零点存在性定理做好了铺垫．然而，教师并未真正完成从“具体＂到“抽象”的过程，可以发现，教师的情境创设仍局限在“知识点”

4、的思考上，淡化了一个重要的转化，即将“具体实物模型”转化为“函数模型”，然后利用“函数模型”解决具体问题，从而使教学的有效性受到极大影响。另外，更深入地想一想，我们是不澹掩确会在不增加负担的前提下提供更高认知水平的教学[4]？有这种可能吗？有．从“具体”到“抽象”还至少可以有以下三个方面值得思考．2.1从“局部”到“整体”零点存在性判定定理，其目的就是通过找函数的零点来研究方程的根，进一步突出函数思想的应用，也为二分法求方程的近似解做好知识上和思想上的准备，它起着承上启下的作用，教学中应突出这一点。第一，承上．应引导学生将具体的“实物形象”转

5、化为抽象的“函数图象”.（见3.1)第二，启下，应关注例题的教学，即将“求函数零点的问题”与下节课“求方程的近似解的问题”建立起关联性整合．（见3.4)2.2从“内隐”到“外显”零点存在性判定定理，教材不要求给予其证明，关键在于让学生通过感知体验并加以确认．对于定理的条件和结论，这是学生学习的难点，学生考虑往往不够深人，需要教师结合具体的实例，通过具体的问题，加强对定理进行全面的认识．从这个理解层面上看，学生的认识不能仅停留在“实验”的操作层面和数的角度上，教师应提供“从内隐到外显”的机会、设计“从内隐到外显”的通道．第一在具体的“函数图象＂

6、中得出零点存在的条件．定理的教学，应关注抽象的过程，即将“直线与细线的交点”与“函数的零点”建立起关联性整合．通过引导学生观察函数图象与x轴的交点的情况，来研究函数零点的情况．（见3.2)第二，引导学生从正面、反面、侧面等不同的角度重新进行审视．①函数图象不连续，②③，函数在区间上不单调，④，函数在区间上单调等各种情况，加深学生对零点存在性定理的理解，（见3.3)2.3从“表象”到“本质”提供丰富的形象素材，构筑起表象与数学本质的桥梁；提供一个抓住本质并对本质有准确理解的思维过程，促进学生在抽象的过程中充分理解高度抽象的“零点存在性定理”的实

7、质．还须注意到一个问题，假如教师在教学时提供形象素材过度（或不当），会造成学生过分依赖现成的形象素材，而失去寻找和运用数学表象的机会，反而会阻滞学生数学思维的培养，既不利于数孚形象思维的发展，更不利于数学抽象思维的发展．因此，应从内容、时机、程度等方面研究形象素材提供的“度”，以真正使教学能有效促进学生数学思维的全面发展[5].3教学建构数学的产生和发展始于对具体问题或具体素材的观察、实验、合情推理，但又不停留于观察、实验、合情推理活动，而是在此基础上进一步通过比较、分析、综合、概括去揭示事物的本质川．因此，教学以“实验操作”为基础，辅之以“

8、问题驱动”．通过类比分析，将归纳方法与严密思考相结合，直观与抽象相结合，促使学生思维是一个清晰的“螺旋上升”过程．可构建如下框架：实验设计：提出问题类比分析，得出结