四川省成都市高中数学圆锥曲线与方程第11课时直线与抛物线的位置关系同步测试新人教a版

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1、第11课时　直线与抛物线的位置关系基础达标(水平一)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1.直线l经过抛物线y2=8x的焦点,与抛物线交于A、B两点,O为原点,则·的值为(　　).A.12B.20　　　　C.-12　　　　D.-20【解析】焦点为(2,0),设直线l方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2),由得y2-8my-16=0,∴y1y2=-16,x1x2=·=(y1y2)2=4,∴·=x1x2+y1y2=-12.【答案】C2.抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,经过点F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,A

2、K⊥l,垂足为K,则△AKF的面积是(　　).A.2B.4C.4D.8【解析】由抛物线的定义知AF=AK,又∠KAF=60°,所以△AFK是正三角形.联立方程组消去y得3x2-10x+3=0,解得x=3或x=.由题意得A(3,2),所以△AKF的边长为4,面积为×4×2=4.【答案】C3.已知AB是过抛物线2x2=y的焦点的弦,若

3、AB

4、=4,则AB的中点的纵坐标是(　　).A.1B.2C.D.【解析】如图所示,设AB的中点为P(x0,y0),分别过A,P,B三点作准线l的垂线,垂足分别为A',Q,B',由题意得

5、AA'

6、+

7、BB'

8、=

9、AB

10、=4

11、,

12、PQ

13、==2,又

14、PQ

15、=y0+,∴y0+=2,∴y0=.【答案】D4.设抛物线y2=8x的准线与x轴交于点Q,若过点Q的直线l与抛物线有公共点,则直线l的斜率的取值范围是(　　).A.B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]【解析】由题意知,抛物线准线方程为x=-2,点Q(-2,0),设直线l:y=k(x+2),由得k2x2+4(k2-2)x+4k2=0.当k=0时,x=0,即直线l与抛物线的交点为(0,0),当k≠0时,Δ≥0,-1≤k<0或0

16、点弦,且

17、AB

18、=4,则线段AB的中点C到直线x+=0的距离为　　　　. 【解析】设点A(x1,y1),B(x2,y2),因为

19、AB

20、=x1+x2+p=4,所以x1+x2=4-=,所以中点C(x0,y0)到直线x+=0的距离为x0+=+=+=.【答案】6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线为l,过点M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与抛物线的一个交点为B,若=,则p=　　　　　. 【解析】由题知准线l为x=-(p>0),过点M且斜率为的直线为y=(x-1),则点A,设B(x,y),由=可知M为AB的中点,又M(1,0),所以即代入y2=

21、2px,得p2+4p-12=0,即p=2或p=-6(舍去).【答案】27.已知抛物线y2=-x与直线y=k(x+1)相交于A,B两点.(1)求证:OA⊥OB.(2)当△OAB的面积为时,求k的值.【解析】(1)如图所示,由消去x得ky2+y-k=0.设点A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得y1·y2=-1,y1+y2=-.∵A,B两点均在抛物线y2=-x上,∴=-x1,=-x2,∴·=x1x2.又∵kOA·kOB=·===-1,∴OA⊥OB.(2)设直线与x轴交于点N,显然k≠0.令y=0,得x=-1,即N(-1,0).∵S△OA

22、B=S△OAN+S△OBN=

23、ON

24、

25、y1

26、+

27、ON

28、

29、y2

30、=

31、ON

32、·

33、y1-y2

34、=·1·=.=,∴=,解得k=±.拓展提升(水平二)8.已知F为抛物线y2=x的焦点,点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,·=2(其中O为坐标原点),则△ABO与△AFO面积之和的最小值是(　　).A.2B.3C.D.【解析】设直线AB的方程为x=ty+m,点A(x1,y1),B(x2,y2).又点F,直线AB与x轴的交点M(m,0),不妨设y1>0,由⇒y2-ty-m=0,所以y1y2=-m,又·=2,所以x1x2+y1y2=2⇒(y1y2)2+y1y2-2

35、=0,因为点A,B在该抛物线上且位于x轴的两侧,所以y1y2=-2,故m=2,所以S△ABO+S△AFO=×2×(y1-y2)+××y1=y1+≥2=3,当且仅当y1=⇒y1=时取“=”.所以△ABO与△AFO面积之和的最小值是3.【答案】B9.已知抛物线y2=8x,点Q是圆C:x2+y2+2x-8y+13=0上任意一点,记抛物线上任意一点P到直线x=-2的距离为d,则

36、PQ

37、+d的最小值为(　　).A.5B.4C.3D.2【解析】由题意知,抛物线y2=8x的焦点为F(2,0),连接PF(如图),则d=

38、PF

39、.将圆C化为(x+1)2+(y-4)2

40、=4,圆心为C(-1,4),半径为r=2,则

41、PQ

42、+d=

43、PQ

44、+

45、PF

46、,于是有

47、PQ

48、+

49、PF

50、≥

51、FQ

52、(当且仅当