三角学的发展历史

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1、三角学的发展历史摘要：三角学是现代中学数学教育内容的重要部分，作为未来的中学教育工作者，了解三角学的发展史，是中学数学教教师应具备的素养。本文从三角学的兴起，希腊学者由于天文学研究的需要确定三角形边与角的精确关系；三角学的发展与改进过程这一部分主要介绍了阿拉伯地区三角学的发展与改进；文艺复兴以后三角学更加完善并且深化。这几部分所涉及的三角学内容与当今中学课程标相关，本文探讨中学的三角学的教育存在的问题并提出解决的方法。关键词：三角学发展史教育1．三角学的兴起1.1古希腊天文学中的三角学古希腊天文学家们为了做出一份天体运行位置以及日月食的

2、详细记录，需要对天体的距离和角度十分熟悉。他们采用日晷仪指针。一种通过垂直杆的影长显示时间的简单装置，实质上是一种类似计算余切函数的装置。如图1，h表示杆的高度，s表示它影子的长度，当太阳与地平线成α角时，s=hcosα,然而发明该指针的古人对余切函数没有研究，只是将其作为时间计时器。但是这种“投影计算”被古代学者得到良好的应用，这可称作三角学比例的先驱。后来，这种简单的方法被成功的运用于测量地球的大小，以及行星之间的距离。后来希腊人创立了一门知识来预报天体的运行路线和位置以帮助报时，计算日历、航海和研究地理。1.1.1希帕霍斯和三角学

3、的兴起三角学的兴起的标志性人物是古希腊天文学家、数学家希帕霍斯。他在爱琴海的罗德岛建造了一座天文台，应用自己发明的仪器进行天文观测。由于天文研究的需要，希帕霍斯对球面上的角度和距离进行计算，制作了一个和现今三角函数表相仿的“弦表”，即在固定的圆内，不同的圆心角所对应的弦长（相当于现在圆心角一半的正弦线的两倍的表）。为了定出数值，他采用了巴比伦人的60进制。对于一定度数的圆弧，可以得到相应弦的长度数。在希帕霍斯的三角学中，一个基本元素为单位圆中已知弧（或中心角）所对的弦，这里α表示弧长，crd(α)表示对应的弧长，如图2因为角度和弧度的度

4、量单位是“度”或“分”，为了统一单位希帕霍斯将圆半径的度量单位也转换成“度”或“分”。已知单位圆的周长为2πR,取π的六十进制近似值为3；8,30，他算得近似到最接近整数的半径R的度数为：60×3602π=6,0,06；17=57.18=3438，，则在该圆中任意角的度数（其对应的圆弧长除以圆的半径等于它对应的弧长的度数。为了制作弦表，希帕霍斯从60°角所对应的弦长等于半径值，即crd60°=3438'=57,18。而90°角所对应的弦长R2=4868'=81,2。为了计算其他角度的对弦，他利用两个几何结果，如图3，crd180°-α=

5、2R2-crd2(α)(1)因为crd180°-α=2Rcosα2，而且α角所对的弦与其正弦之间有下述关系：12crd(α)R=sinα2或crdα=2Rsinα2所以(1)的结果就相当于sin2α+cos2α=1其次，希帕霍斯利用一种半角公式算出了crdα2,得出半角公式的过程如下：假设角α=∠BOC被OD平分。如图3为了用crdα=BC来表达crdα2=DC,在AC上选一点E，使得AE=AB.那么∆ABD与∆AED全等，从而BD=DC,而DC=DE。如果从D作EC的垂线DF，则有CF=12CE=12AC-AE=12AC-AB=122

6、R-crd180°-α.但由于∆ACD与∆DCF相似，因而AC:DC=CD:CF,因此crd2α2=CD2=AC∙CF=R2R-crd180°-α,将上式用现代符号表示即得:2Rsinα42=R2R-2Rcosα2,如果用2α代替α得：sin2α2=1-cosα2，这便是标准的半角公式。希帕霍斯在运算过程中得到的三角学公式不仅是以上两个，还包括sinα+β=sinαcosβ±cosαsinβ，这些三角形角与边之间关系公式都是用纯粹的几何学知识推导而得。用这样的方法算出来的弦表虽然所含元素数量有限，但足以使希帕霍斯在求三角形问题上取得一定

7、进展，并利用他们完成天体模型。以上的sin2α+cos2α=1，sin2α2=1-cosα2，sinα+β=sinαcosβ±cosαsinβ这三个公式是高中数学课程标准所要求的内容，多数教师没有对公示的推导进行展示，仅仅只是教学生记忆公式，如果按照公式的推导进行讲解，学生会更加容易记住公式，为学生减负。1.1.2托勒密和弦表的计算希腊天文学家、数学家克劳蒂乌斯.托勒密，长期居住在亚历山大，并在那里进行大量的天文观测。托勒密最享盛名的著作是《大成》，书中对希腊人的宇宙模型给出了完整的数学描述，包括有太阳、月亮和行星的各种运动参数。给出了

8、计算行星位置所必需的相关平面三角学与球面三角学的数学知识。托勒密创造出比希帕霍斯弦表更完整的弦表，托勒密列出从12°到180°，且以12°为间隔的弦表，并且找出了能在两个值之间的插值方法，同时考虑到原来的R