资源描述：
《1991-2013全国数学竞赛试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、一九九一年第一试一、选择题本题共有8个小题，每小题都给出了（A）、（B）（C）、（D）四个答案结论，其中只有一个是正确的．请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内．１．设等式在实数范围内成立，其中a，x，y是两两不同的实数，则的值是（A）3；（B）；（C）2；（D）． 答（）２．如图，AB‖EF‖CD，已知AB=20，CD=80，BC=100，那么EF的值是（A）10；（B）12；（C）16；（D）18． 答（）３．方程的解是（A）；（B）；（C）或；（D）． 答
2、（）４．已知：（n是自然数）．那么，的值是（Ａ）； （Ｂ）；（Ｃ）； （Ｄ）．答（ ）５．若，其中Ｍ为自然数，n为使得等式成立的最大的自然数，则Ｍ（Ａ）能被２整除，但不能被３整除；（Ｂ）能被３整除，但不能被２整除；（Ｃ）能被４整除，但不能被３整除；-118-（Ｄ）不能被３整除，也不能被２整除．答（ ）１．若a，c，d是整数，b是正整数，且满足，，，那么的最大值是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）；（Ｄ）１．答（ ）=1２．如图，正方形OPQR内接于ΔABC．已知ΔAOR、ΔBOP和ΔCRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的
3、边长是（Ａ）；（Ｂ）；（Ｃ）2；（Ｄ）3．答（）３．在锐角ΔABC中，，，，ΔABC的外接圆半径≤1，则（Ａ）2； （D）c=2． 答（ ） 二、填空题１．Ｅ是平行四边形ABCD中BC边的中点，AE交对角线BD于G，如果ΔBEG的面积是１，则平行四边形ABCD的面积是．２．已知关于x的一元二次方程没有实数解．甲由于看错了二次项系数，误求得两根为２和４；乙由于看错了某一项系数的符号，误求得两根为－１和４，那么，．3．设m，n，p
4、，q为非负数，且对一切x>０，恒成立，则 ．４．四边形ABCD中，∠ABC，∠BCD，AB，BC，CD=6，则AD=．-118-第二试x+y， x－y， xy， 四个数中的三个又相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x,y）．二、ΔABC中，AB＜AC＜BC，D点在BC上，E点在BA的延长线上，且BD＝BE＝AC，ΔBDE的外接圆与ΔABC的外接圆交于F点（如图）．求证：BF＝AF＋CF 三、将正方形ABCD分割为个相等的小方格（n是自然数），把相对的顶点A，C染成红色，把B，D染成蓝色，其他交点任意染成红、蓝两色中的一种颜色．证明：
5、恰有三个顶点同色的小方格的数目必是偶数．-118-一九九二年第一试一.选择题本题共有8个题,每小题都给出了(A),(B),(C),(D)四个结论,其中只有一个是正确的.请把正确结论的代表字母写在题后的圆括号内.1.满足的非负整数的个数是(A)1;(B)2;(C)3;(D)4.2.若是一元二次方程的根,则判别式与平方式的关系是(A)>(B)=(C)>;(D)不确定.3.若,则的个位数字是(A)1;(B)3;(C)5;(D)7.答()4.在半径为1的圆中有一内接多边形,若它的边长皆大于1且小于,则这个多边形的边数必为(A)7;(B)6;(C)5;(D)
6、4.答()5.如图,正比例函数的图像与反比例函数的图像分别相交于A点和C点.若和的面积分别为S1和S2,则S1与S2的关系是(A)(B)(C)(D)不确定答()6.在一个由个方格组成的边长为8的正方形棋盘内放一个半径为4的圆,若把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,把圆周经过的所有小方格的圆内部分的面积之和记为,则的整数部分是(A)0;(B)1;(C)2;(D)3.答()7.如图,在等腰梯形ABCD中,AB//CD,AB=2CD,-118-,又E是底边AB上一点,且FE=FB=AC,FA=AB.则AE:EB等于(A)1:2(B)1:3(C
7、)2:5(D)3:10答()8.设均为正整数,且,,则当的值最大时,的最小值是(A)8;(B)9;(C)10;(D)11.答()二.填空题1.若一等腰三角形的底边上的高等于18cm,腰上的中线等15cm,则这个等腰三角形的面积等于________________.2.若,则的最大值是__________.3.在中,的平分线相交于点，又于点，若，则.4.若都是正实数，且，则.第二试一、设等腰三角形的一腰与底边的长分别是方程的两根，当这样的三角形只有一个时，求的取值范围.二、如图，在中，是底边上一点，是线段上一点，且.求证：.三、某个信封上的两个邮政编
8、码M和N均由0，1，2，3，5，6这六个不同数字组成，现有四个编码如下：A：320651B：105263C：612305D
