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1、山东财政学院统计与数理学院本科学年论文(设计)题目：对于大规模矩阵矩阵特征值解法初步探索学院统计与数理学院专业信息与计算科学班级07级信息与计算科学二班学号20070534213姓名宫琳指导教师张爱英山东财政学院教务处制二Ｏ一一年9山东财政学院统计与数理学院摘要：现实生活中，很多问题不同系数都可以归结为大规模矩阵问题，这为处理解决问题提供了方法，但是大规模矩阵往往过于复杂，难于计算和处理，这就需要寻找一种可行的分类解决方法。在矩阵解法中，矩阵特征值是矩阵内容的核心内容，本文将对于矩阵的特征值解法进行讨论。对于乘幂法，反
2、幂法，子空间代换法的讨论进行初探，并且对于其中的使用解决领域，精度等进行讨论。关键字：矩阵特征值乘幂法反幂法子空间代换法引言：在科学技术的应用领域中，许多问题都归为求解一个相应的特征系统。特征系统里面的诸多因素通过矩阵的形式表现出来，如动力学系统和结构系统中的振动问题，求系统的频率与振型；物理学中的某些临界值的确定等等。但是一般系统内部因素诸多，数值很多，大规模矩阵情况很复杂，计算繁琐，需要根据不同类型进行矩阵求解。矩阵解法中利用矩阵特征值进行求解，是一个比较普遍的方法。这在工程计算领域非常常见，如量子物理中的Kohn
3、-Sham方程求解化为哈密顿矩阵某些关键特征值的对策；财务风险中的决策树法以财务变量为判别点建立决策树模型，以最低误判成本为标准对样本公司进行分类，进行矩阵运算；会计中所有者权益变动表利用矩阵求解等。本论文希望通过对大规模矩阵的主特征值解决的思想和方法进行探讨，例如乘幂法，反幂法和子空间代换法。通过对不同类型的计算方法的结果和适用类型的对比和探讨，以及对于不同类型解决方法的优化等方面的研究，加深对矩阵实际的应用的理解，学以致用。计算矩阵的时候会引入矩阵的核心内容—特征值l，下面为相关介绍。设A为n阶方阵，，若，有数l使
4、Ax=lx则称l为A的特征值，x为相应于l的特征向量。因此，特征问题的求解包括两方面：1．求特征值l，满足2．求特征向量，满足齐方程组称j（l）为A的特征多项式，它是关于l的n次代数方程。关于特征值的求解，一般用乘幂法，反幂法以及子空间代换法，但是不同方法使用的情况不同，精度不同，过程不同，因而对于不同的需求，计算机上机实现选择方式也不同，本文将对其进行阐述。9山东财政学院统计与数理学院关于矩阵特征值的解法(一)乘幂法与反幂法在实际工程应用中，如大型结构的振动系统中，往往要计算振动系统的最低频率（或前几个最低频率）及相
5、应的振型，相应的数学问题便为求解矩阵的按模最大或前几个按模最大特征值及相应的特征向量问题，或称为求主特征值问题。1.1乘幂法介绍：乘幂法是用于求大型稀疏矩阵的主特征值的迭代方法，其特点是公式简单，易于上机实现。基本思想：任取一个非零向量，由已知的矩阵A的乘幂构造一个向量序列，通过不断迭代取得主特征值及相关特征向量。乘幂法的公式推算为：设AÎRn´n，取初始向量x(0)ÎRn，令x(1)=Ax(0)，x(2)=Ax(1)，…，一般有（1）形成迭代向量序列{x(k)}。由递推公式，有（2）这表明x(k)是用A的k次幂左乘x
6、(0)得到的，因此称此方法为乘幂法，{x(k)}称为迭代序列。例1用规范化乘幂法计算矩阵A的主特征值及相应特征向量解：首先，通过矩阵的基本运算，不难得到A的特征值l1=6，l2=3，l3=2其次，运用乘幂法运算，对结果进行对比不妨取初始值x(0)=(1,1,1)T，用规范化乘幂法公式计算其它结果见表1（表中的向量均为转置向量）。表1kmax(y(k))x(k)=y(k)/max(x(k))x(k+1)=Ay(k)01(1,1,1)(10,8,1)110(1,0.8,0.1)(7.2,5.4,-0.8)27.2(1,0.
7、75,-0.111111)(6.5,4.75,-1.222222)36.57(1,0.730769,-0.203704)(6.230766,4.499997,-1.407408)46.230766(1,0.722222,-0.225880)(6.111108,4.388886,-1.1451767)9山东财政学院统计与数理学院56.111108(1,0.718182,-0.237561)(6.054548,4.336336,-1.475122)66.054548(1,0.716216,-0.243639)(6.0270
8、24,4.310808,-1.487278)76.027024(1,0.715247,-0.246768)(6.013458,4.298211,-1.483536)86.013458(1,0.714765,-0.248366)(6.00671,4.291945,-1.496732)96.00671(1,0.714525,-0.24
