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1、海南师范大学本科生毕业论文题目：凸函数在不等式中的应用姓名：学号：200505101058专业：数学与应用数学年级：2005级院别：数学与统计学院完成日期：2009年5月6日指导教师：王琪（副教授）II本科生毕业论文独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，本论文中没有抄袭他人研究成果和伪造数据等行为。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。论文作者签名：梅君日期：2009-5-4本科生毕业论文使用授权声明海南师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交毕业论文的复印件
2、和磁盘，允许毕业论文被查阅和借阅。本人授权海南师范大学可以将本毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复印手段保存、汇编毕业论文。论文作者签名：梅君日期：2009-5-4指导教师签名：王琪日期：2009-5-47目录1.预备知识32.凸函数不等式42.1几何平均值不大于算术平均值42.2算术平均值不大于平方平均值42.3一般的平均值定理53.琴森不等式妙用于三角不等式的证明5参考文献:77凸函数在不等式中的应用摘要：凸函数是一类特殊的函数,它在不等式的证明，数学规划,控制论等领域都有广泛的应用.关于凸函数有许多等价定义及重要性质,本文只讨论与不等式有
3、关的一个定义,并举例说明它们在不等式证明中的应用.在利用定义证明不等式时,关键是构造出解决问题的凸函数,这样就会使复杂的问题迎刃而解.关键词：凸函数;不等式.TheApplicationofConvexfunctionininequalityAuthor:MeiJunTutor:AssociateProfessorWangQi(SchoolofMathematicsandstatistics,Hainannormaluniversity，Haikou,571158)Abstract:Convexfunctionisaspecialkindoffunction,itiswidelyu
4、sedinproofofinequality,inthemathematicalprogramming,cyberneticsandetc.Therearemanyequivalentdefinitionsandimportantpropertiesontheconvexfunction.Thispaperdiscussedonlyaboutadefinitionofinequality,andillustratedtheapplicationinproofofinequality.Whenusingthedefinitionstoproveinequality,thecritic
5、almethodistoconstructaconvexfunctiontosolvesuchproblemseffectively.Keywords:Convexfunction;inequality.1.预备知识定义1 设为定义在区间上的函数,若对上的任意两点、和任意实数,总有,则称为上的凸函数.反之,如果总有,则称为上的凹函数.定理1设为区间上的二阶可导函数,则在上为凸(凹)函数的充要条件是7.2.凸函数不等式2.1几何平均值不大于算术平均值设,考虑指数函数是凸函数,从而对,,，有特别地令，，则得到，.这就是人们熟知的“几何平均值不大于算术平均值”定理.2.2算术平均值不大于
6、平方平均值考虑二次函数x∈(0,+∞)是凸函数,从而对,有.这就是算术平均值不大于平方平均值.72.3一般的平均值定理考虑一般的幂函数是凸函数,那么同样可以有.这就是一般的平均值定理[4],它可以称为:算术平均不大于P()次平均.定理2(Jensen不等式)若为上的凸函数,则对任意,且,有,当且仅当时取等号.若为上凹函数,只需把“≤”改为“≥”.3.琴森不等式妙用于三角不等式的证明例1设△ABC为锐角三角形,求证:.证明因为,而函数在上是凹的,所以由琴森不等式可得,故得证.例2在△ABC中,求证:①;7②.证明①因为,而函数在上是凸的,所以由不等式可得故得证.②令,则在上是凸的。又
7、因为sinA、sinB、sinC均为正数,且单调增加,所以由琴森不等式即得（由①结论得）所以 得证.由命题的证明方法可以类似证明以下结论：在△ABC中,有①；②.(证明从略)定理3(Jensen不等式的积分形式)设是定义在可积的函数,且,,为上的可微凸(凹)函数,则7()定理3中如果取,我们可以得到下面的结论.推论1设为上的可微凸(凹)函数,则（）例1若为上是连续函数,且,则有.证明我们易知是可微凹函数,在上是连续函数,故可积,且,故由定理3得证毕.例2设,证明.证
